【１】２重指数型公式

　ここでは，

　　ｇn+1＝（ｇn）^2−２，ｇ0＝４

を考えるが，この場合，

　　ω1＝２＋√３，ω2＝２−√３

となって，２重指数型公式

　　ｇn＝ω1^(2^n)＋ω2^(2^n)

が得られる．

　帰納法により

［１］ｎ＝０，ｇ0＝ω1＋ω2＝４

［２］ｇn＝ω1^(2^n)＋ω2^(2^n)が正しいとすると，

　（ｇn）^2−２＝（ω1^(2^n)＋ω2^(2^n)）^2−２

＝ω1^(2^n+1)＋ω2^(2^n+1)＋２（ω1ω1）^(2^n)−２

＝ω1^(2^n+1)＋ω2^(2^n+1)＝ｇn+1

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【２】指数型公式

　比較のため，指数型公式もみてみたい．

　　ｇn＝（ａ＋１）ｇn-1＋ｇn-2

ａ＝０，ｇ0＝１，ｇ1＝ａ＋１→ｆn

ａ＝０，ｇ0＝２，ｇ1＝ａ＋１→Ｌn

ａ＝１，ｇ0＝１，ｇ1＝ａ＋１→ｐn

ａ＝１，ｇ0＝２，ｇ1＝ａ＋１→Ｑn

の一般項は，いずれも指数型公式

　　ｇn＝ａα^n＋ｂβ^n

で与えられる．

　もう少し簡単にして，，たとえば，

　　ｇn＝２ｇn-1＋１

の場合でも，指数型公式

　　ｇn＝２^n−１

が得られる．

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