１＋１／２＋１／３＋１／４＋１／５＋・・・＝∞

［証］

　１＋１／２＋１／３＋１／４＋１／５＋・・・＋１／９＞９／１０

　１／１０＋１／１１＋１／１２＋・・・＋１／９９＞９０／１００

　１／１００＋１／１０１＋・・・＋１／９９９＞９００／１０００

　１／１０００＋１／１００１＋・・・＋１／９９９９＞９０００／１００００

　（その３）では，

　１／２＋１／２・２^2＋１／３・２^3＋１／４・２^4＋１／５・２^5＋・・・＝２ｌｎ２

　１／１０＋１／２・１０^2＋１／３・１０^3＋１／４・１０^4＋１／５・１０^5＋・・・＝１０／９・ｌｎ（１０／９）

　一般に

　１／（１−ｚ）・ｌｎ（１／（１−ｚ））＝Σ（Ｈn）ｚ^n

ｚ≠１であれば，同じ理由から収束するのである．

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【１】diet調和級数の収束

　調和級数は発散しますが，分母に９が含まれている項をすべて取り除けば発散しなくなります．

　　Ｊ＝（１／１＋・・・＋１／８）＋（１／１０＋・・・１／１８＋１／２０＋・・・＋１／８８）＋（１／１００＋・・・＋１／８８８）＋・・・

において，括弧内のすべての項を括弧内の最大項に置き換えると

　　１／１＋・・・＋１／８＜１／１＋・・・１／１＜９／１

　　１／１０＋・・・１／１８＋１／２０＋・・・＋１／８８＜１／１０＋・・・１／１０＜９^2／１０

　　１／１００＋・・・＋１／８８８＜１／１００＋・・・１／１００＜９^3／１０^2

　　Ｊ＜９／１＋９^2／１０＋９^3／１０^2＋・・・＝９／（１−９／１０）＝９０

　したがって，９をすべて取り除いた調和級数は収束します．同様に，取り除く数がどれであっても収束するのですが，１０％の数を取り除くと収束する・・・なにか奇異に感じられませんか？

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【２】すべての数の中に９が含まれる数はいくつあるか？

　種明かしをしよう．１から１０^nまで，数字ｘが含まれる数字の個数は（１０^n−９^2），したがって，ｘが含まれる数字の比率は（１０^n−９^n）／１０^n＝１−（９／１０）^nで表される．

　したがって，１から１０までで１０％，１００までで１９％，１０００までで２７％，１００００までで３４％であるが，桁数が大きくなるほどｘが含まれる確率は高くなり，この後，急速に１００％に近づく．１０％でなく事実上ほとんどすべての数にｘが含まれているといえるのである．

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