フィボナッチ数列｛Ｆn｝は

　　Ｆ0＝０，Ｆ1＝１

　　Ｆn＝Ｆn-1＋Ｆn-2　　（ｎ≧２）

で定義される．

　その一般項は，黄金比

　　φ＝（１＋√５）／２，−１／φ＝（１−√５）／２

と使って，

　　Ｆn＝｛φ^n−（−１／φ）^n｝／√５

と表すことができる．

［１］ΣＦi＝Ｆn+2−１　　（ｉ＝０〜ｎ）

［２］Σ（Ｆi）^2＝ＦnＦn+1　　（ｉ＝０〜ｎ）

［３］ΣＦ2i+1＝Ｆ2n+2　　（ｉ＝０〜ｎ）

［４］Ｆm+n＝Ｆm-1Ｆn＋ＦmＦn+1

［５］Ｆm+n＝Ｆm+1Ｆn+1＋Ｆm-1Ｆn-1

［６］（Ｆn）^2＋｛Ｆn+1）^2＝Ｆ2n+1

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【１】ジボナッチ数列（Gibonacci，一般化されたフィボナッチ数列）

　一方，リュカ数列｛Ｌn｝は

　　Ｌ0＝２，Ｌ1＝１

　　Ｌn＝Ｌn-1＋Ｌn-2　　（ｎ≧２）

で定義される．フィボナッチ数列とは同じ再帰関係を満たすが，始まり方が異なる．

　リュカ数列などのジボナッチ数列の一般項は，黄金比

　　φ＝（１＋√５）／２，−１／φ＝（１−√５）／２

と使って，

　　ａn＝ｓφ^n＋ｔ（−１／φ）^n

と表すことができる．

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【２】トリボナッチ数列

　　Ｔn＝Ｔn-1＋Ｔn-2＋Ｔn-3　　（ｎ≧３）

において，

　　Ｔn＝ｃ1Ｔn-1＋ｃ2Ｔn-2＋ｃ3Ｔn-3　　（ｎ≧３）

を考える．

　　Ｔ0＝０，Ｔ1＝１，Ｔ2＝１

　　Ｔn＝１／２・Ｔn-1＋３／２・Ｔn-2＋１／２・Ｔn-3　　（ｎ≧３）

の一般項は，

　　Ｔn＝Ｆn　　（フィボナッチ数列）

となる．

　なお，

　　ｘ^3＝１／２・ｘ^2＋３／２・ｘ＋１／２

　　２ｘ^3−ｘ^2−３ｘ−１＝０

　　（２ｘ＋１）（ｘ^2−ｘ−１）＝０

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