丸いピザ（半径Ｒ）のなかに１点（ｃｏｓα，ｓｉｎα）を決める．その点を第１象限とすれば，Ｒ＞１，０＜α＜π／２となる．その点を中心とする極座標は

　　Ｒ^2＝ｒ^2＋１−２ｒｃｏｓ（π−α＋θ）

　　Ｒ^2＝ｒ^2＋１＋２ｒｃｏｓ（α−θ）

　　ｒ^2＋２ｒｃｏｓ（θ−α）＋１−Ｒ^2＝０

　　ｒ＝−ｃｏｓ（θ−α）±｛（ｃｏｓ（θ−α））^2＋Ｒ^2−１｝^1/2

　θ＝αのとき，ｒ＝Ｒ−１，θ＝α＋πのとき，ｒ＝Ｒ＋１であるから

　　ｒ＝−ｃｏｓ（θ−α）＋｛（ｃｏｓ（θ−α））^2＋Ｒ^2−１｝^1/2

として

　　１／２・∫ｒ^2ｄθ

を計算すればよい．

　　ｒ^2＝２（ｃｏｓ（θ−α））^2＋Ｒ^2−１−２ｃｏｓ（θ−α）｛（ｃｏｓ（θ−α））^2＋Ｒ^2−１｝^1/2

＝ｃｏｓ２（θ−α）＋Ｒ^2−２ｃｏｓ（θ−α）｛Ｒ^2−（ｓｉｎ（θ−α））^2｝^1/2

＝ｃｏｓ２（θ−α）＋Ｒ^2−｛４Ｒ^2（ｃｏｓ（θ−α））^2−（ｓｉｎ２（θ−α））^2｝^1/2

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∫ｃｏｓ２（θ−α）ｄθ＝１／２・ｓｉｎ２（θ−α）

∫ｃｏｓ（θ−α）｛１−（ｓｉｎ（θ−α）／Ｒ）^2｝^1/2ｄθ

＝１／２・ｓｉｎ（θ−α）｛１−（ｓｉｎ（θ−α）／Ｒ）^2｝^1/2＋２Ｒ・ａｒｃｓｉｎ（ｓｉｎ（θ−α）／Ｒ）

∫ｃｏｓ（θ−α）｛Ｒ^2−（ｓｉｎ（θ−α））^2｝^1/2ｄθ

＝Ｒ／２・ｓｉｎ（θ−α）｛１−（ｓｉｎ（θ−α）／Ｒ）^2｝^1/2＋２Ｒ^2・ａｒｃｓｉｎ（ｓｉｎ（θ−α）／Ｒ）

　このように簡単な形になることは知らなかった．案外簡単かもしれない．

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