丸いピザ（半径Ｒ）のなかに１点（ｃｏｓα，ｓｉｎα）を決める．その点を第１象限とすれば，Ｒ＞１，０＜α＜π／２となる．その点を中心とする極座標は

　　Ｒ^2＝ｒ^2＋１－２ｒｃｏｓ（π－α＋θ）

　　Ｒ^2＝ｒ^2＋１＋２ｒｃｏｓ（α－θ）

　　ｒ^2＋２ｒｃｏｓ（θ－α）＋１－Ｒ^2＝０

　　ｒ＝－ｃｏｓ（θ－α）±｛（ｃｏｓ（θ－α））^2＋Ｒ^2－１｝^1/2

　θ＝αのとき，ｒ＝Ｒ－１，θ＝α＋πのとき，ｒ＝Ｒ＋１であるから

　　ｒ＝－ｃｏｓ（θ－α）＋｛（ｃｏｓ（θ－α））^2＋Ｒ^2－１｝^1/2

として

　　１／２・∫ｒ^2ｄθ

を計算すればよい．

　　ｒ^2＝２（ｃｏｓ（θ－α））^2＋Ｒ^2－１－２ｃｏｓ（θ－α）｛（ｃｏｓ（θ－α））^2＋Ｒ^2－１｝^1/2

＝ｃｏｓ２（θ－α）＋Ｒ^2－２ｃｏｓ（θ－α）｛Ｒ^2－（ｓｉｎ（θ－α））^2｝^1/2

＝ｃｏｓ２（θ－α）＋Ｒ^2－｛４Ｒ^2（ｃｏｓ（θ－α））^2－（ｓｉｎ２（θ－α））^2｝^1/2

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∫ｃｏｓ２（θ－α）ｄθ＝１／２・ｓｉｎ２（θ－α）

∫ｃｏｓ（θ－α）｛１－（ｓｉｎ（θ－α）／Ｒ）^2｝^1/2ｄθ

＝１／２・ｓｉｎ（θ－α）｛１－（ｓｉｎ（θ－α）／Ｒ）^2｝^1/2＋２Ｒ・ａｒｃｓｉｎ（ｓｉｎ（θ－α）／Ｒ）

∫ｃｏｓ（θ－α）｛Ｒ^2－（ｓｉｎ（θ－α））^2｝^1/2ｄθ

＝Ｒ／２・ｓｉｎ（θ－α）｛１－（ｓｉｎ（θ－α）／Ｒ）^2｝^1/2＋２Ｒ^2・ａｒｃｓｉｎ（ｓｉｎ（θ－α）／Ｒ）

　このように簡単な形になることは知らなかった．案外簡単かもしれない．

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