【１】リュカの問題

　　１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋２４^2＝２４（２４＋１）（２・２４＋１）／６＝７０^2

は，最初の２４個の平方数の合計が平方数になっているという面白い式です．驚異的ですらあります．

　級数の公式：Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６をご存じの方も多いでしょうが，１からｎまでの平方の和が平方数となるのはｎが１か２４の場合しかありません．四面体数＝四角数あるいは２５平方の等式ともいうべきこの等式はリュカの問題（１８７３年）として知られています．

　ｙ^2＝ｘ（ｘ＋１）（２ｘ＋１）／６の唯一自明でない整数解は（２４，７０）で，それ以外の自明な解がないことは楕円関数やペル方程式を使って証明されています．すなわち，１より大きい数でこれが起こるのは２４だけで，それ以外の数では決して最初の２個の平方の和は平方数にはならないのです．

　（２４，７０）以外に解は存在しないことの証明は，１９１８年にワトソンにより楕円関数論を用いてなされましたが，初等的証明も発見されているそうです．

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［Ｑ］１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋ｍ^2＝ｍ（ｍ＋１）（２ｍ＋１）／６＝ｎ^2，ｍは６の倍数で，ｎ＜１００という制限をつけて，ｍを求めてみよ．

ｍ＝６ｋ

ｍ（ｍ＋１）（２ｍ＋１）／６＝ｋ（６ｋ＋１）（１２ｋ＋１）＝ｎ^2

ｋ，６ｋ＋１，１２ｋ＋１はどの２つも互いに素であるから，すべて平方数であるようなｋをみつければよい．

　　ｋ（６ｋ＋１）（１２ｋ＋１）＝ｎ^2＜１００００→ｋ≦１６

ｋ　　　　＝１，４，９，１６

６ｋ＋１　＝７，２５，５５，９７

１２ｋ＋１＝１３，４９，９９，１９３

ｋ＝４，６ｋ＋１＝２５，１２ｋ＋１＝４９→ｍ＝２４，ｎ＝７０

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［Ｑ］１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋ｍ^2＝ｍ（ｍ＋１）（２ｍ＋１）／６＝ｎ^2，ｍ＝６ｋ＋３のとき，ｎは存在しないことを示せ．

ｍ＝６ｋ＋３

ｍ（ｍ＋１）（２ｍ＋１）／６＝（２ｋ＋１）（３ｋ＋２）（１２ｋ＋７）＝ｎ^2

２ｋ＋１，３ｋ＋２，１２ｋ＋７はどの２つも互いに素であるから，すべて平方数であるようなｋは存在しないことを示されればよい．→少なくともひとつは平方数でないことが示されればよい．

　答えは３ｋ＋２は平方数でないですが，

ｍ＝３ｋ→ｍ^2＝３（３ｋ^2）

ｍ＝３ｋ＋１→ｍ^2＝３（ｋ^2＋２ｋ）＋１

ｍ＝３ｋ−１→ｍ^2＝３（ｋ^2−２ｋ）＋１

より証明されます．

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