【４】ラグランジュの定理とラマヌジャンのリストの間に

　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2

から

　 Ａｘ^2＋Ｂｙ^2＋Ｃｚ^2＋Ｄｗ^2，　　Ａ≦Ｂ≦Ｃ≦Ｄ

までの間を検討したいのであるが，容易にわかるようにＡ＝１でなければならない．

　そこで，Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝１から始めたい．

　答えはＤ＝１，２，３，４，５，６，７になるのであるが，その定理がルジャンドルの４平方和定理「何種類かの４変数２次形式，たとえば，

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｍｗ^2　　　（ｍ＝１，２，３，４，５，６，７）

はすべての正の整数を表現することができる」である．

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【５】１５の定理と整数の表現（驚くべき定理）

　驚くべきことに，１９９６年，コンウェイとシュニーバーガーは正定値ｎ元２次形式（変数ｎの数は任意とする）が１から１５までのすべての整数を表せば，それがすべての正の整数を表すことを示した（１５の定理）．

　もっと限定していえば

　　１，２，３，５，６，７，１０，１４，１５

の９つの数を表現するならば，すべての正の整数を表現するという定理である．

　１５の定理は２９０予想のbest-possibleな解決であったが，この定理はルジャンドルの４平方和定理「何種類かの４変数２次形式，たとえば，

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｍｗ^2　　　（ｍ＝１，２，３，４，５，６，７）

はすべての正の整数を表現することができる」も内包していて，

　　１＝１^2，２＝１^2＋１^2，３＝１^2＋１^2＋１^2，５＝２^2＋１^2

　　６＝２^2＋１^2＋１^2，７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2，１０＝３^2＋１^2

　　１４＝３^2＋２^2＋１^2，１５＝３^2＋２^2＋１^2＋１^2

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【６】まとめ

　それらは

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2からｘ^2＋２ｙ^2＋５ｚ^2＋１０ｗ^2まで

すべてＡｘ^2＋Ｂｙ^2＋Ｃｚ^2＋Ｄｗ^2の形をしていて，５４通りあることが知られている．

　４変数２次形式では，たとえば，

　　２ｗ^2＋３ｘ^2＋４ｙ^2＋５ｚ^2

は１だけを表すことができない．

　　ｗ^2＋２ｘ^2＋５ｙ^2＋５ｚ^2

は１５だけを表すことができない．

　（２，３，４，５），（１，２，５，５）はラマヌジャンのリストには載っていない．ラマヌジャンのリストは２０世紀初頭，ラマヌジャンによって，コンピュータの助けなしに特定された．しかし，不備があって（１，２，５，５）も含められてしまった．

　　ｗ^2＋２ｘ^2＋５ｙ^2＋５ｚ^2

は１５をそして１５だけを表すことができないのである．

　また，（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）の少なくともひとつは１であるから（２，３，４，５）はリストに含まれないのである．

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