［Ｑ］Σ１／２^n＝１／２＋１／４＋１／８＋・・・＝１

［Ｑ］Σｎ／２^n＝１／２＋２／４＋３／８＋・・・＝２

［Ｑ］Σｎ^2／２^n＝１／２＋４／４＋９／８＋・・・＝６

［Ｑ］Σｎ^3／２^n＝１／２＋８／４＋２７／８＋・・・＝２６

［Ｑ］Σ１／３^n＝１／３＋１／９＋１／２７＋・・・＝１／２

　それでは

［Ｑ］Σｎ／３^n＝１／３＋２／９＋３／２７＋・・・＝？

［Ｑ］Σｎ^2／３^n＝１／３＋４／９＋９／２７＋・・・＝？

［Ｑ］Σｎ^3／３^n＝１／３＋８／９＋２７／２７＋・・・＝？

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　　Ｓ＝Σｎ／３^n＝１／３＋２／９＋３／２７＋・・・＋ｎ／３^n

　　１／３・Ｓ＝　　　　　　１／９＋２／２７＋３／８１＋・・・＋ｎ／３^n+1

辺々差し引くと

　　２／３・Ｓ＝（１／３＋１／９＋１／２７＋１／８１＋・・・＋１／３^n）−ｎ／３^n+1

ｎ→∞のとき

（１／３＋１／９＋１／２７＋１／８１＋・・・＋１／３^n）→１／２

ｎ／３^n+1→０

したがって，Ｓ→３／４

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　　Ｔ＝Σｎ^2／３^n＝１／３＋４／９＋９／２７＋・・・＋ｎ^2／３^n

　　１／３・Ｔ＝　　　　　　　１／９＋４／２７＋９／８１＋・・・＋ｎ^2／３^n+1

辺々差し引くと

　　２／３・Ｔ＝（１／３＋３／９＋５／２７＋７／８１＋・・・＋（２ｎ−１）／３^n）−ｎ^2／３^n+1

　ここで，２ｎ−１＝ｎ^2−（ｎ−１）^2である．

ｎ→∞のとき

（１／３＋３／９＋５／２７＋７／８１＋・・・＋（２ｎ−１）／３^n）

＝２Σｎ／３^n−Σ１／３^n→２・３／４−１／２＝１

ｎ^2／３^n+1→０

したがって，Ｔ→３／２

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　　Ｕ＝Σｎ^3／３^n＝１／３＋８／９＋２７／２７＋・・・＋ｎ^3／３^n

　　１／３・Ｕ＝　　　　　　　１／９＋８／２７＋２７／８１＋・・・＋ｎ^3／３^n+1

辺々差し引くと

　　２／３・Ｕ＝（１／３＋７／９＋１９／２７＋５４／８１＋・・・＋（３ｎ^2−３ｎ＋１）／３^n）−ｎ^3／３^n+1

　ここで，３ｎ^2−３ｎ＋１＝ｎ^3−（ｎ−１）^3である．

ｎ→∞のとき

（１／３＋７／９＋１９／２７＋５４／８１＋・・・＋（３ｎ^2−３ｎ＋１）／３^n）

＝３Σｎ^2／３^n−３Σｎ／３^n＋Σ１／３^n→３・３／２−３・３／４＋１／２＝７／４

ｎ^3／３^n+1→０

したがって，Ｕ→２１／８

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