Σlogk〜(n+1/2)･logn-n+C

　　C=1-1/12+1/360-1/1260+1/1680--･･･

定数Ｃは

　　Ｃ＝１／２・ｌｏｇ２π＝−ζ’（０）

で与えられる．

　一方，

　　−ζ’(1-s)＝（2^(1-s)π^-sζ(s)Γ(s)）’cosπs/2−（2^(1-s)π^-sζ(s)Γ(s)）・π/2sinπs/2

となって，ｓが奇数のとき，-ζ’(1-s)とζ(s)の関係を計算することができる．

［１］ｓ＝３

　　−ζ’(−２)＝１／４・π^-3ζ(３)・２・π／２＝ζ（３）／４π^2

［２］ｓ＝５

　　−ζ’(−４)＝１／１６・π^-5ζ(５)・２４・π／２＝３ζ（５）／４π^4

［３］ｓ＝１

　　−ζ’(０)＝−π^-1ζ(０)・π／２＝−ζ（０）／２

であるから，ζ（０）＝１／２でなく，ζ（０）＝−ｌｏｇ２πで計算していることになる．

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　　ζ(s)=2Γ(1-s)sin(πs/2)(2π)^(s-1)ζ(1-s)

　　ζ(1-s)=2Γ(s)sin(π(1-s)/2)(2π)^(-s)ζ(s)

　　ζ(1-s)=（2Γ(s)(2π)^(-s)ζ(s)）sin(π(1-s)/2)

　　−ζ’(1-s)=（2Γ(s)(2π)^(-s)ζ(s)）’sin(π(1-s)/2)-（2Γ(s)(2π)^(-s)ζ(s)）・π/2cosπ(1-s)/2

でも，ｓが奇数のとき，-ζ’(1-s)とζ(s)の関係を計算することができる．

［１］ｓ＝３

　　−ζ’(−２)＝４（２π）^-3ζ(３)・π／２＝ζ（３）／４π^2

［２］ｓ＝５

<P />　　−ζ’(−４)＝４８（２π）^-5ζ(５)・π／２＝３ζ（５）／４π^4

［３］ｓ＝１

　　−ζ’(０)＝−２（２π）^-1ζ(０)・π／２＝−ζ（０）／２

であるから，ζ（０）＝１／２でなく，ζ（０）＝−ｌｏｇ２πで計算していることになる．

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［雑感］

　実はｓが偶数のときの-ζ’(1-s)とζ(s)の関係を計算することができるのではと期待していたのであるが，

　　−ζ’(1-s)=（2Γ(s)(2π)^(-s)ζ(s)）’sin(π(1-s)/2)-（2Γ(s)(2π)^(-s)ζ(s)）・π/2cosπ(1-s)/2

は

　　−ζ’(1-s)=（2Γ(s)(2π)^(-s)ζ(s)）’cosπs/2-（2Γ(s)(2π)^(-s)ζ(s)）・π/2sinπs/2

となって

　　−ζ’(1-s)＝（2^(1-s)π^-sζ(s)Γ(s)）’cosπs/2−（2^(1-s)π^-sζ(s)Γ(s)）・π/2sinπs/2

とまったく同じである（残念！）．

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