■オイラー積(その15)

 (その14)の続きである.

  ζ(1-s)=2^(1-s)π^-sζ(s)Γ(s)cosπs/2

  ζ(1-s)=(2^(1-s)π^-sζ(s)Γ(s))cosπs/2

  −ζ’(1-s)=(2^(1-s)π^-sζ(s)Γ(s))’cosπs/2−(2^(1-s)π^-sζ(s)Γ(s))・π/2sinπs/2

となって,sが奇数のとき,-ζ’(1-s)とζ(s)の関係を計算することができる.

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[1]s=3

  −ζ’(−2)=1/4・π^-3ζ(3)・2・π/2=ζ(3)/4π^2

[2]s=5

  −ζ’(−4)=1/16・π^-5ζ(5)・24・π/2=3ζ(5)/4π^4

 このように,Γ関数の性質を用いて

  −ζ’(−s)

を求めることができる.畏れず計算を続行すべきであった.

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