完全数σ（Ｎ）＝２Ｎは，有限リーマンゼータ関数を用いて

　　ζN（１）＝２

と特徴づけられる．

　［参］黒川信重「リーマンと数論」共立出版

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　偶完全数Ｎは

　　Ｎ＝２^p-1（２^p−１），Ｍ＝２^p−１はメルセンヌ素数

と書くことができる．

　　ｐ＝２，３，５，７，１３，１７，１９，・・・，７４２０７２８１

　　Ｎ＝６，２８，４９６，・・・，２^74207280（２^74207281−１）

　　ζ6（１）＝１＋１／２＋１／３＋１／６＝２

　　ζ28（１）＝１＋１／２＋１／４＋１／７＋１／１４＋１／２８＝２

　一般に

　　ζN（ｓ）＝ζ2^(p-1)（ｓ）ζ2^p-1（ｓ）

　　ζN（１）＝２

となる．

　　Ｎ＝２^p-1（２^p−１）＝（Ｍ＋１）／２・Ｍ＝１＋２＋・・・＋Ｍ

ｘを越えないメルセンヌ素数の個数は，漸近的に

　　〜ｅｘｐγ／ｌｏｇ２・ｌｏｇｌｏｇｘ

と予想されている．

　また，リーマン予想は

　　ζN（１）＜ｅｘｐγ・ｌｏｇｌｏｇＮ

が，すべてのＮ＞５０４０に対して成り立つことと同値である．

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