■サマーヴィルの等面四面体(その16)

 4次元正単体の頂点座標は

  A(-1/2,-√3/6,-√6/12,-1/2√10)

  B(+1/2,-√3/6,-√6/12,-1/2√10)

  C(   0,+√3/3,-√6/12,-1/2√10)

  D(   0,    0,+√6/4 ,-1/2√10)

  E(   0,    0,     0,+4/2√10)

が正五角形にみえる方向や如何に?

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 試しに

  A(-1/2,-√3/6,-√6/12,-1/2√10)

  B(+1/2,-√3/6,-√6/12,-1/2√10)

  C(   0,+√3/3,-√6/12,-1/2√10)

  C(   0,+√3/3,-√6/12,-1/2√10)

  D(   0,    0,+√6/4 ,-1/2√10)

  E(   0,    0,     0,+4/2√10)

の中心

   (0,0,-√6/12,-1/2√10)

   (0,+√3/9,+√6/18,+1/3√10)

を結んだ方向を考えてみる.

   (0,√3/9,5√6/36,5/6√10)

それに直交する原点を通る平面は

  √3/9y+5√6/36z+5w/6√10=0

である.

  A’(-1/2,-√3/6+s√3/9,-√6/12+5s√6/36,-1/2√10+5s/6√10)

  B’(+1/2,-√3/6+s√3/9,-√6/12+5s√6/36,-1/2√10+5s/6√10)

  C’(   0,+√3/3+s√3/9,-√6/12+5s√6/36,-1/2√10+5s/6√10)

  D’(   0,    0+s√3/9,+√6/4+5s√6/36,-1/2√10+5s/6√10)

  E’(   0,    0+s√3/9,    0+5s√6/36,+4/2√10+5s/6√10)

A’(B’)

  -1/18+s/27-5/72+25s/216-5/120+25s/360=0

  (40+125+75)s/1080-(60+75+45)/1080=0→s=3/4

C’

  1/9+s/27-5/72+25s/216-5/120+25s/360=0

  (40+125+75)s/1080+(120-75+75)/1080=0→s=-1/2

D’

 s/27+5/24+25s/216-5/120+25s/360=0

  (40+125+75)s/1080+(225-45)/1080=0→s=-3/4

E’

  s/27+25s/216+1/6+25s/360=0

  (40+125+75)s/1080+180/1080=0→s=-3/4

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  A’(-1/2,-√3/12,√6/48,1/8√10)

  B’(+1/2,-√3/12,√6/48,1/8√10)

  C’(   0,+5√3/18,-11√6/72,-11/12√10)

  D’(   0,-√3/12,-7√6/12,-9/8√10)

  E’(   0,-√3/12,-5√6/48,+11/8√10)

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