ディンキン図形はカルタン行列に対応する平面グラフというわけですが，リー代数との関係をみてみましょう．

［１］ＳＵ（ｎ）

　ＳＵ（ｎ）代数は古典群と呼ばれる代数のうちの一組で，ＳＵ（ｎ＋１）代数はカルタンによりＡnと呼ばれたものです（Ａn＝ＳＵ（ｎ＋１））．

　行列式が１のｎ×ｎ複素ユニタリー行列の群ＳＵ（ｎ）のリー代数は，エルミートでトレース０のｎ×ｎ行列で生成され，それには線形独立なものがｎ^2−１個あります．

　それらの重みはｎ−１次元空間で正単体，すなわち，ＳＵ（２）に対し正三角形，ＳＵ（３）に対し正四面体をなします．したがって，ＳＵ（ｎ）のディンキン図形は

　　・−・−・・・−・−・

になり，ＳＵ（２）に対するディンキン図形は・，ＳＵ（３）に対しては・−・と表されます．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［２］ＳＯ（ｎ）

　ＳＯ（ｎ）はｎ×ｎ直交行列の群，すなわちｎ次元実ベクトル空間における回転群です．ｎが偶数のとき（ｎ＝２ｍ），ｍ個の２次元部分空間に分解でき，そのディンキン図形は

　　　　　　　　　　　　・

　　　　　　　　　　　／

　　・−・−・・・−・

　　　　　　　　　　　＼

　　　　　　　　　　　　・

となります．この代数ｓｏ（２ｍ）はカルタンがＤnと呼んだものです．

　それに対して，ｎ＝２ｍ＋１のときのディンキン図形は

　　・−・−・・・＝・

となり，この代数ｓｏ（２ｍ＋１）はＢnと呼ばれます．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［３］Ｓｐ（２ｎ）

　　Ａを任意の反対称ｎ×ｎ行列，Ｓを対称ｎ×ｎ行列，σをパウリ行列として

　　Ｅ（×）Ａ，σi（×）Ｓ

の形をした２×２およびｎ×ｎエルミート行列のテンソル積（×）の形で与えられる２ｎ×２ｎ行列のなす群は，Ｓｐ（２ｎ）のリー代数をなします．

　Ｓｐ（２ｎ）リー代数はカルタンがＣnと呼んだもので，そのディンキン図形は

　　・−・−・・・＝・

となります．

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