【１】ディンキン図形

　（その３２０）では，平面を鏡映三角形で埋めつくすというユークリッド幾何学の問題を考えましたが，ルート系はｎ次元ユークリッド空間のベクトルの集合なので，それを平面上に図示するためには特別な工夫が必要となります．

　１次独立な２つのルートα，βのなす角をθとすると，

　　（α，β）＝｜α｜｜β｜ｃｏｓθ

ただし，（α，β）＞０，｜α｜≦｜β｜，０＜θ≦π／２としても一般性を失いません．

　また，

　　２（α，β）／（α，α）＝〈α，β〉

と略記すると，

　　〈β，α〉＝２｜β｜／｜α｜ｃｏｓθ

が成立しますから，

　　〈α，β〉〈β，α〉＝４ｃｏｓ^2θ

が得られます．

　ここで，ルート系の定義から，〈α，β〉は整数ですから，

　　４ｃｏｓ^2θ＝０，１，２，３

したがって，

　　θ＝π／２，π／３，π／４，π／６

に限られます．

　そのとき，ｎ次元単体の基底となるｎ個のベクトルの集合を

　　Φ＝｛α1，α2，・・・，αn｝

として，

　　〈αi，αj〉＝２（αi，αj）／（αj，αj）＝Ｃij

で与えられる整数をカルタン数，ｎ次正方行列Ｃ＝｛Ｃij｝をカルタン行列といいます．これはαjを長さ√２のベクトルとするとき，カルタン行列は内積（αi，αj）からなるグラミアンとして定義されることを意味しています．

　　θ　　｜β｜／｜α｜　〈α，β〉　〈β，α〉　〈α，β〉〈β，α〉

　π／２　　　　−　　　　　　０　　　　　０　　　　　　　０

　π／３　　　　１　　　　　　１　　　　　１　　　　　　　１

　π／４　　　　２　　　　　　１　　　　　２　　　　　　　２

　π／６　　　　３　　　　　　１　　　　　３　　　　　　　３

　カルタン行列ではこの４つの場合の値のみが許されます．カタラン数はそれほど多くの値をとるわけではないので，その状況を端的に表すグラフ（ディンキン図形）を考えることができます．そして，〈α，β〉〈β，α〉，すなわち，

　　θ＝π／２・・・・結ばない

　　θ＝π／３・・・・辺−で結ぶ（・−・）

　　θ＝π／４・・・・辺＝で結ぶ（・＝・）

　　θ＝π／６・・・・辺≡で結ぶ（・≡・）

と定めます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝