■正多面体の正多角形断面(その18)

 正八面体の半分の正四角錘の辺を黄金比に分割すれば,正五角形が得られる.

 正八面体の辺を黄金比に分割すれば,正20面体が得られるが,五角錘を切り取ったところに正五角形ができるというわけである.

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 正八面体の頂点を

  (±1,0,0),(0,±1,0),(0,0,±1)

とする.

  τ:1=1/τ:1/τ^2

  A(1/τ^2,0,1/τ)

  B(0,1/τ,1/τ^2)

  C(-1/τ,1/τ^2,0)

  D(-1/τ,-1/τ^2,0)

  E(0,-1/τ,1/τ^2)

とすると

AB^2=1/τ^4+1/τ^2+(1/τ-1/τ^2)^2

=BC^2=DE^2=EA^2

CD^2=4/τ^4

1/τ^4+1/τ^2+(1/τ-1/τ^2)^2

=2/τ^4+2/τ^2-2/τ^3

1/τ^2-1/τ^3=1/τ^2(1-1/τ)=(τ-1)/τ^3

τ-1=1/τより,

AB^2=1/τ^4+1/τ^2+(1/τ-1/τ^2)^2

=BC^2=DE^2=EA^2=CD^2=4/τ^4

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