ｐを２と５以外の素数とすると

　　１０^d＝１　　（ｍｏｄｐ）

をみたすｄが存在する．

　その最小のものをｄ（ｐ）とすると，ｄ（ｐ）はｐ−１の約数である．とくに

　　１０^(p-1)＝１　　（ｍｏｄｐ）

が成り立つ．はフェルマーの小定理の特別な場合です．

［Ｑ］ｄ（ｐ）＝ｐ−１となる素数ｐは無限個あるか？

［Ｑ］ｄ（ｐ）＝ｐ−１となる素数ｐは無限個あると思われるが，どれくらいあるか？

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　　Ｌ（ｐ）＝ｐ−１

という性質は重要に思える．そこで，

［Ｑ］Ｌ（ｐ）＝ｐ−１となる素数ｐは無限個あるか？

［Ｑ］Ｌ（ｐ）＝ｐ−１となる素数ｐは無限個あると思われるが，どれくらいあるか？

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　アルティンが考えたのは，

［Ｑ］ｄ（ｐ）＝ｐ−１となる素数ｐは素数全体の中でどれくらいの割合を占めるか？

であって，アルティン予想は

　　π10（ｘ）／π（ｘ）〜Ａ

　　Ａ＝ｌｉｍΠ（１−１／ｐ（ｐ−１））＝０．３７３９・・・

というものであった．

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　　１０^(p-1)＝１　　（ｍｏｄｐ）

が成り立つ．はフェルマーの小定理

　　ａ^(p-1)＝１　　（ｍｏｄｐ）

の特別な場合です．

　１０以外の一般の整数ａに対して

　　πa（ｘ）／π（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）

すなわち，ａを原始根にもつ素数は無限個存在するという予想は，一般化されたリーマン予想を仮定すれば成立することがわかっています（フーリー，Hooley,1967）．また，アルティンの原始根予想の関数体版はすでに証明されています．

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