立方体に内接する最大の正八面体の解答はいささか意外な結果になったが，最大正八面体はどのようにして得られたものなのだろうか？　たとえば，正八面体の北極と南極を立方体の対蹠頂点を結ぶ線上に置くような内接の仕方では最大正八面体は得られないのだろうか？

　今回のコラムでは，正八面体の北極と南極を結ぶ中心軸の位置を変えて，もとの立方体との体積比を求めてみたいと思う．

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【１】立方体に内接する正八面体

［１］中心軸が対面の中心を結ぶ線上にある場合

　この正八面体は立方体に内接する２つのケプラー四面体の積集合になっています．６頂点は立方体の面の中心にあり，体積比は１／６＝０．１６６７です．

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［２］中心軸が立方体の対蹠頂点を結ぶ線上にある場合

　単位立方体ではもっとも離れた２頂点を結ぶ対角線の長さは√３となります．この場合，正八面体の中心軸は［１，１，１］方向を向き，４頂点が立方体の面に接します．

　立方体の面に接触する４頂点を（ａ，−１，ｂ），（−１，ａ，ｂ），（１，−ａ，−ｂ），（−ａ，１，−ｂ）とおくと，

　　２（ａ＋１）^2＝２（ａ−１）^2＋４ｂ^2

より，ｂ^2＝２ａ

　また，［１，１，１］方向にある２頂点を（ｃ，ｃ，ｃ），（−ｃ，−ｃ，−ｃ）とおくと，

　　３ｃ^2＝（ａ＋１）^2　→　ｃ^2＝（ａ＋１）^2／３

　また，

　　（ｃ−ａ）^2＋（ｃ＋１）^2＋（ｃ−ｂ）^2＝２（ａ＋１）^2

より

　　ａ^2−４ａ＋１＝０　→　ａ＝２−√３

　１辺の長さは√２（ａ＋１）＝√２（３−√３）であるから，立方体との体積比を記すと

　　Ｖ＝√２（√２（３−√３））^3／２４＝９−５√３＝０．３３９７

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［３］中心軸が向かい合う辺の中点を結ぶ線上にある場合

　向かい合う辺の中点に置く内接の仕方で，２頂点が立方体の辺に，２辺が立方体の面に接します．

　単位立方体の断面は３角形・４角形・５角形・６角形などいろいろな形をとりますが，立方体の中心を通り，辺とその対蹠に位置する辺を含む平面で切ったとき，断面積は最大値√２になります．したがって，立方体の最大断面に正八面体の最大断面が含まれるような内接の仕方ということになります．

　正八面体の１辺の長さをａとして，立方体との体積比を記すと

　　√２ａ＝√２→　ａ＝１　→　Ｖ＝√２／３＝０．４７１４

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［４］中心軸が向かい合う辺の４等分点を結ぶ線上にある場合

　この場合は６頂点が立方体の辺に，２辺が立方体の面に接します．その際，正三角形面の重心が［１，１，１］方向を向くのですが，これがわかれば

　　１＋２（１−ｘ）^2＝２ｘ^2　→　ｘ＝３／４

より，頂点の位置を求めることができます．

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　以上より，正八面体は

　　［１］１／６＝０．１６６７，

　　［２］９−５√３＝０．３３９７，

　　［３］√２／３＝０．４７１４

　　［４］９／１６＝０．５６２５

の順に大きくなり，［４］で立方体に内接する最大の正八面体が得られます．中川宏さんによる体積比較の写真を掲げます．

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