立方体の辺の４等分点はルーパート王子の問題（立方体に内接する最大正方形面）のみならず，立方体に内接する最大正八面体，立方体に内接する切頂八面体などにもでてくる．（その１４）を補足．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】正八面体の切削角度の計算

　立方体の頂点からでる３本の辺を３：１に内分する３点をとります．その頂点の対蹠頂点からでる３本の辺を３：１に内分する３点をとり，この６点を選べば立方体に内接する最大の正八面体が得られます．

　この正八面体の２面は立方体の切頂面になるのですが，切頂の深さは切頂八面体の場合と同じ３：１内分点で，その切削角度は

　　ｔａｎθ＝√２　　　→　θ＝５４．７３５７°（切頂面）

　　ｔａｎθ＝√２／５　→　θ＝１５．７９３２°（隣接面）

となります．

　以下に，中川宏さんが同じ立方体から切り出した正八面体の体積比較（約３倍）掲げます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝