ルーパート王子の問題に関連して，「正多面体に内接する最大の別の多面体は何か」という問題を取り上げます．５種類の正多面体の組み合わせは全部で２０通りありますが，立方体に内接する最大の正八面体の解答はいささか意外な結果になるのだそうです．

　クロフトの論文

　　Croft, HT: On maximal regular polyherda inscribed in a regular polyhedron, Proc. London Math Soc(3), 41, 279-296, 1980

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【１】立方体に内接する最大の正八面体

　ここでは，立方体に内接する最大の正八面体の作り方を記しますが，立方体の頂点からでる３本の辺を３：１に内分する３点をとります．その頂点の対蹠頂点からでる３本の辺を３：１に内分する３点をとり，この６点を選べば立方体に内接する最大の正八面体が得られます．

　　（３√２／４）^3√２／３＝９／１６＝0.5625

最小（０．１６７）であった正八面体が正２０面体の０．５１５を超え，最大（０．５６２５）になるのです．

　また，この正八面体の２面は立方体の切頂面になるのですが，切頂の深さは切頂八面体の場合と同じ３：１内分点です．ちなみに切頂八面体と立方体の体積比は０．５となります．

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【２】正多面体に内接する最大の正多面体

　「正多面体に内接する最大の別の多面体は何か」という問題では５種類の正多面体の組み合わせは全部で２０通りあります．そのうちの１４通りについては解決済みです．

　　Ｔ　ｉｎ　Ｃ，Ｏ　ｉｎ　Ｃ，Ｄ　ｉｎ　Ｃ，Ｉ　ｉｎ　Ｃ

については既に解決されているというわけですで，未解決のまま残っているのは

　　Ｃ　ｉｎ　Ｉ，Ｔ　ｉｎ　Ｉ，Ｄ　ｉｎ　Ｉ，

　　Ｄ　ｉｎ　Ｏ，Ｄ　ｉｎ　Ｔ，Ｉ　ｉｎ　Ｄ

の６通りです．

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