ｎ次元単体の各頂点間の距離が既知のとき，体積Ｖを計算する公式は

［１］ｎ＝２のときのヘロンの公式

［２］ｎ＝３のときのオイラーの体積公式＝「六斜術」

［３］４次元空間の５個の点に関しては相互の１０個の距離の間に「十斜術」の公式

［４］ｎ次元空間のｎ＋１個の点に関しては相互の（ｎ＋１，２）個の距離の間に，サマーヴィルの公式がある．

　　２^n（ｎ！）^2Ｖ^2＝ａｂｓ（行列式）

　多少特別な場合，たとえば直角錘，等面単体などでも一般公式を出しておくのは価値があるだろう．サマーヴィルの公式を使って，等面単体の体積、底面積，高さを計算できる．

［１］等面単体の体積に対応するサマーヴィルの公式の行列式は

　　２^n・（ｎ＋１）^n-1

［２］等面単体の底面体積に対応する行列式は

　　２^n・（ｎ＋１）^n-2

　これより

［３］等面単体の高さｈ＝ｎＶ／Ｓは

　　ｈ^2＝（ｎ＋１）／２

で与えられる．

　最短辺の長さ√ｎで正規化すると

　　ｈ^2＝（ｎ＋１）／２ｎ

となって，１辺の長さ１の正単体の高さ：　　ｈ^2＝（ｎ＋１）／２ｎ

と等しいことがわかる．

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