単純群は

　　(1)素数位数の巡回群

　　(2)５次以上の交代群

　　(3)リー型の単純群

　　(4)散在型単純群

の４種類に大別される．今日では有限単純群の分類は完成し，合計１８の無限系列と２６個の散在群に限ることがわかっている．

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【２】有限単純群の分類(3)

　リーの連続変換の群の研究は，キリングによって単純な有限連続群をすべて見つけ，系列に分類するという単純群の「元素周期律表」に結びついていく．

　　Ａ1 　　Ａ2 　　Ａ3 　　Ａ4 　　Ａ5 　　Ａ6 　　Ａ7 　　Ａ8

　　Ｂ1 　　Ｂ2 　　Ｂ3 　　Ｂ4 　　Ｂ5 　　Ｂ6 　　Ｂ7 　　Ｂ8

　　　 　　Ｃ2 　　Ｃ3 　　Ｃ4 　　Ｃ5 　　Ｃ6 　　Ｃ7 　　Ｃ8

　　　 　　　 　　　 　　Ｄ4 　　Ｄ5 　　Ｄ6 　　Ｄ7 　　Ｄ8

　　　 　　Ｇ2 　　　 　　Ｆ4 　　　 　　Ｅ6 　　Ｅ7 　　Ｅ8

　キリングはリー群を７系列に分け，ＡからＧの文字を割り当てた．Ａ系列が最も単純で，Ｂ・Ｃ・Ｄ系列はより複雑だが互いに似ている．これらを古典型とよぶ．添字はそのリー群の表す空間の次元である．Ｅ・Ｆ・Ｇ系列の例外型リー群は８次元で終了し，全部で５つの例外型リー群がある．

　もう一つの問題は，キリングが分類した単純群をすべて構成することである．カルタンはそれが実際に存在することを示し，その結果は現在「キリング・カルタン分類」として知られている．

　Ａ・Ｂ・Ｃ・Ｄ系列はユークリッド空間の中の対称群として扱うことができる．ディクソンは，Ａ1，Ａ2，Ａ3などの個々に対して，素数位数の群を構成した．例外系列を構成するにはディクソンから半世紀待たなくてはならなかったが，１９５５年，シュバレーが例外系列に対する一般的構成法を完成させた．

　そして，他の数学者たちがその下流を整理し始めた．たとえば，日本人数学者・鈴木通夫がまったく新しい単純群（鈴木系列）を発見した．素数位数の巡回群を除いて，それまで知られた有限単純群の位数はすべて偶数であって，さらに３の倍数と予想されていた．ところがこの予想は外れであって，Ｂ2から生成される鈴木群は位数が３の倍数でない唯一の例外であることがわかっている．また，韓国人数学者・リー(Ree)がシュバレー系列，鈴木系列を含む単純群を発見した．

　シュバレー，鈴木，リーが使用した方法は代数的なものであったが，幾何学的なアプローチを考える人達がいた．ティッツは内在する幾何を利用して有限リー群を構成しようとした．３次元には正四面体群Ａ3，正八面体群Ｂ3，正二十面体群Ｈ3の３種類の結晶がある．４次元正多面体にはＡ4，Ｂ4に加え，正２４胞体Ｆ4，正６００胞群Ｈ4がある．一般に，高次元空間における単結晶は

　　３　　４　　５　　６　　７　　８　　８次元以上

　　Ａ3 　Ａ4 　Ａ5 　Ａ6 　Ａ7 　Ａ8 　ＡnかＢnのみ

　　Ｂ3 　Ｂ4 　Ｂ5 　Ｂ6 　Ｂ7 　Ｂ8 　ＡnかＢnのみ

　　　　 　　　　 　Ｅ6 　Ｅ7 　Ｅ8

　　　　　Ｆ4

　　Ｈ3 　Ｈ4

であるが，幾何学的に３次元の多重結晶を育てることによって４次元以上の多重結晶（単純群）をすべて作り出せるのである．

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