単純群は

　　(1)素数位数の巡回群

　　(2)５次以上の交代群

　　(3)リー型の単純群

　　(4)散在型単純群

の４種類に大別される．今日では有限単純群の分類は完成し，合計１８の無限系列と２６個の散在群に限ることがわかっている．

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【１】有限単純群の分類(1)(2)

　素数位数の巡回群は単純群であるが，これ以外にも単純群はあり，５次以上の交代群（対称群の置換のなかで偶置換が作る群）も単純群となる．その位数はｎ！／２で，Ａ5（６０），Ａ6（３６０），Ａ7（２５２０），Ａ8（２０１６０），Ａ9（１８１４４０），Ａ10（１８１４４００）と計算される．

　単純群の最小位数は素数でなければ６０である．位数６０の群は５個の対称の置換のなかで偶置換が作る群Ａ5である．Ａ5は正１２面体の回転群としても現れる．

　単純群は非常に稀であって，たとえば，２０００未満の位数をもつ単純群の位数を書き出してみると

　　６０（Ａ5），１６８，３６０（Ａ6），５０４，６６０，１０９２

しかない．このなかでＡ5，Ａ6以外の群はリー型の単純群である．

［補］バーンサイドの定理

　もし単純群が素数位数の巡回群でなければ，その位数は少なくとも３つ異なる素数で割れる．たとえば，最小位数の単純群の異数は６０であり，これは２，３，５で割れる．次に小さい単純群の位数は１６８であり，これは２，３，７で割れる．

［補］ファイト・トンプソンの定理

　素数位数の巡回群を除いて，すべての単純群の位数は偶数である．したがって，もし群の位数が奇数なら，素数位数の巡回群の集まりに分解することができる．

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