立方体の中心を通る平面を

　　ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝０，ａ＝１，ｂ＞０，ｃ＞０

　　ｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝０，ａ＝１，ｂ＞０，ｃ＞０

とする．

　４辺との交点を

　　Ａ：ｙ＝−１，ｚ＝１→ｘ−ｂ＋ｃ＝０，ｘ＝ｂ−ｃ

　　Ｃ：ｙ＝１，ｚ＝−１＝ｘ＋ｂ−ｃ＝０，ｘ＝ー（ｂ−ｃ）

　　ｂ＜ｃとしても一般性を失わない．

　　Ｂ：ｘ＝−１，ｙ＝１→−１＋ｂ＋ｃｚ＝０，ｚ＝（１−ｂ）／ｃ

　　Ｄ：ｘ＝１，ｙ＝−１→１−ｂ＋ｃｚ＝０，ｚ＝−（１−ｂ）／ｃ

　　ｂ＜１としても一般性を失わない．

とする．

　　Ａ（ｂ−ｃ，−１，１）

　　Ｂ（−１，１，（１−ｂ）／ｃ）

　　Ｃ（−（ｂ−ｃ），１，−１）

　　Ｄ（１，−１，−（１−ｂ）／ｃ）

ＣＢ（−１＋ｂ−ｃ，０，（１−ｂ）／ｃ＋１）

ＣＤ（１＋ｂ−ｃ，−２，−（１−ｂ）／ｃ＋１）

正方形となるためには

［１］（−１＋ｂ−ｃ）^2＋（（１−ｂ）／ｃ＋１））^2

＝（１＋ｂ−ｃ）^2＋４＋（（１−ｂ）／ｃ−１））^2

［２］（−１＋ｂ−ｃ）（１＋ｂ−ｃ）＋（（１−ｂ）／ｃ＋１））（−（１−ｂ）／ｃ＋１）＝０

［１］−２（ｂ−ｃ）＋２（１−ｂ）／ｃ＝２（ｂ−ｃ）＋４−２（１−ｂ）／ｃ

（ｂ−ｃ）−（１−ｂ）／ｃ＋１＝０

［２］（ｂ−ｃ）^2−１＋１−｛（１−ｂ）／ｃ｝^2＝０

（ｂ−ｃ）＝−（１−ｂ）／ｃ

　２（ｂ−ｃ）＋１＝０，ｂ−ｃ＝−１／２

　−２（１−ｂ）／ｃ＋１＝０

　−２（１−ｂ）＋ｃ＝０→２ｂ＋ｃ＝２

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［まとめ］以上より，断面が正方形となるのはｂ＝１／２，ｃ＝１のときに限られることがわかる．ニューランドはこのようにしてルーパート王子の問題を解いたのだと思われる．

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