立方体の中心を通る断面を考える.4稜の1/4点を結んでうまく切ると正方形が現れる.これを座標を使って考えてみよう.
立方体の8個の頂点を(±1,±1,±1)とし,平面:x+y/2+z=0で切った切り口を求めると,
(-1/2,-1,1)
(-1,1,1/2)
(1/2,1,-1)
(1,-1,-1/2)
これらは1辺の長さ3√2/2の正方形となる.これは立方体に1辺の長さより少し長く,いいかえるとこの少し大きい立方体が元の立方体を貫通するのである(ルーパート王子の問題).
また立方体の中心を通らない断面を考える.平面:x+y+z=-1で切った切り口を求めると,
(-1,-1,1)
(-1,1,-1)
(1,-1,-1)
これらは1辺の長さ2√2の正三角形となる.
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