素数が無限に存在することの証明（ユークリッドの方法）を参考にして，４ｎ−１型素数が無限にあることを証明してみよう．

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　４ｎ−１型素数は有限（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn）であると仮定する．このとき，

　　Ｍ＝４ｐ1・・・ｐn−１

を考える．

　もしこれが素数ならば仮定に反するので，この数は合成数である．４ｎ＋１型素数の積は４ｎ＋１型の自然数になるから，素因数の少なくともひとつは４ｎ−１型である．これをｐkとすると，ｐkはＭとｐ1・・・ｐnの両方を割り切ることになる→矛盾．

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