１^7＋４^7＋４^7＋５^7＋９^7＋９^7＋２^7＋９^7＝１４４５９９２９　　　（７ナルシスト数）

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１^3+５^3+３^3=１５３

のように

１００ａ＋１０ｂ＋ｃ＝ａ^3+ｂ^3+ｃ^3となる数を３ナルシスト数，

１０^3ａ＋１０^2ｂ＋１０ｃ＋ｄ＝ａ^4+ｂ^4+ｃ^4＋ｄ^4となる数を４ナルシスト数，

１０^4ａ＋１０^3ｂ＋１０^2ｃ＋１０ｄ＋ｅ＝ａ^5+ｂ^5+ｃ^5＋ｄ^5＋ｅ^5となる数を５ナルシスト数というのだそうである．

　ｎナルシスト数はｎ≦６０のときしか存在しない．なぜなら，

　　ｎ・９^n＜１０^n-1

　　ｌｏｇｎ＋ｎｌｏｇ９＜ｎ−１

　　ｌｏｇｎ＋．９６４２４３ｎ＜ｎ−１

ｎ＝６１のとき，左辺５９．９９４１，右辺６０

となるからである．

　ナルシスト数は全部で８８個あることが証明されている．ｎ＝２ではナルシスト数は存在しない．ｎ＝４では１６３４，８２０８，９４７４．ｎ＝５では５４７４８，９２７２７，９３０８４．ｎ＝６では５４８８３４．

　その最も大きなものは３９桁の数，

１１５１３２２１９０１８７６３９２２５６５０９５５９７９７３９７１５２２４０１

２番目に大きいものは同じく３９桁の数，

１１５１３２２１９０１８７６３９２２５６５０９５５９７９７３９７１５２２４００

である．

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　それに対して，

　　５＋１＋２＝８

　　５１２＝８^3

のように

　　１００ａ＋１０ｂ＋ｃ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）^3

の解は「デュドニー数」と呼ばれているとのことである．

　デュドニー数は６つしかないとされていて，残りの５つは

　　０＋０＋１＝１，　　１＝１^3

　　４＋９＋１＋３＝１７，　　４９１３＝１７^3

　　５＋８＋３＋２＝１８，　　５８３２＝１８^3

　　１＋７＋５＋７＋６＝２６，　　１７５７６＝２６^3

　　１＋９＋６＋８＋３＝２７，　　１９６８３＝２７^3

［参］伊庭斉志「数理パズル」コロナ社

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