□＋□＝□？は２つの四角数を足してまた四角数になることがあるかというピタゴラスの問題です．（ｘ，ｙ，ｚ）＝（３，４，５），（５，１２，１３），（８，１５，１７）はそのような３数の例であり，一般解は

　　ｘ＝ｋ（ｍ^2−ｎ^2），ｙ＝２ｋｍｎ，ｚ＝ｋ（ｍ^2＋ｎ^2）</P>

と表されます．

　ピタゴラスの問題□＋□＝□？を拡張する方向としては，

［１］一つには未知数の個数を増すこと（□＋□＋□＝□あるいは一般に□＋□＋・・・＋□＝□を解くこと），

［２］もう一つには指数を大きくすること（ａ^3＋ｂ^3＝ｃ^3あるいは一般にａ^n＋ｂ^n＝ｃ^nを解くこと）になります．前者の解としては，ｘ1＝−ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2，ｘ2＝２ａ1ａ2，ｘ3＝２ａ1ａ3，・・・，ｘn＝２ａ1ａnとすれば（ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2）^2＝ｙ^2となります．

　後者は有名なフェルマーの問題でこれには整数解がないことが証明されています．ここでは，第３の問題

［３］□＋□＝□＋１を解くこと

を考えます．

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（Ｑ）△＋△＝△を満たす整数解はあるか？

（Ａ）ｘ（ｘ＋１）／２＋ｙ（ｙ＋１）／２＝ｚ（ｚ＋１）／２

　両辺を８倍して２を加えると

　　（２ｘ＋１）^2＋（２ｙ＋１）^2＝（２ｚ＋１）^2＋１

ここで，２ｘ＋１＝Ｘ，２ｙ＋１＝Ｙ，２ｚ＋１＝Ｚとおくと

　　Ｘ^2＋Ｙ^2＝Ｚ^2＋１

　すなわち，□＋□＝□＋１？という問題に帰着されますが，□＋□＝□＋１に対しては，

　　（ａｂ−ｃｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2＝（ａ^2＋ｃ^2）（ｂ^2＋ｄ^2）

　　（ａｂ＋ｃｄ）^2＋（ａｄ−ｂｃ）^2＝（ａ^2＋ｃ^2）（ｂ^2＋ｄ^2）

より，恒等式：

（ａｂ−ｃｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2＝（ａｂ＋ｃｄ）^2＋（ａｄ−ｂｃ）^2がよく知られていて，ａｂ−ｃｄ，ａｄ＋ｂｃ，ａｂ＋ｃｄが奇数で，ａｄ−ｂｃ＝１を満たすものをみつける問題に帰着されたことになります．

　ａｄ−ｂｃ＝１なる行列

　　Ｊ＝［ａ，ｂ］

　　　　［ｃ，ｄ］

をｎ乗した行列を

　　Ｊ^n＝［Ａ，Ｂ］

　　　　　［Ｃ，Ｄ］

とすると，常にＡＤ−ＢＣ＝１が成り立ちますから，ａｂ−ｃｄ，ａｄ＋ｂｃ，ａｂ＋ｃｄが奇数となるもの，たとえば，

　　Ｊ＝［３，２］

　　　　［１，１］

からスタートして２乗，３乗，・・・していきます．

　すると，ｍｏｄ２でみて，

　　［１，０］と［１，０］

　　［１，１］　［０，１］

が交互に現れますが，ａｂ−ｃｄ，ａｄ＋ｂｃ，ａｂ＋ｃｄが奇数となるのは

　　［１，０］

　　［１，１］

のみであることがわかります．

　そこで，

　　［１，０］　　　（ｍｏｄ２）

　　［１，１］

となるような任意の行列をひとつ選び，その奇数乗のときだけ採用することにして，

　　Ｘ＝２ｘ＋１＝ａｂ−ｃｄ，Ｙ＝２ｙ＋１＝ａｄ＋ｂｃ，Ｚ＝２ｚ＋１＝ａｂ＋ｃｄ

なるｘ，ｙ，ｚを求めると，□＋□＝□＋１となります．

　たとえば，</P>

　　Ｊ＝［３，２］→（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝（５，５，７）

　　　　［１，１］　　５^2＋５^2＝７^2＋１

　　Ｊ^3＝［４１，３０］→（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝（１０６５，９０１，１３９５）

　　　　　［１５，１１］

　　Ｊ^5＝［５７１，４１８］

　　　　　［２０９，１５３］

→（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝（２０６７０１，１７４７２５，２７０６５５）

など無限に解が得られます．

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