【１】ラグランジュの定理（４平方和定理）

　「すべての正の整数は高々４個の整数の平方和で表される」というのが，ラグランジュの定理です．すなわち，ラグランジュの定理は４次元空間内の原点を中心とする半径√ｎの球面には必ず格子点があることを主張しているわけです．半径√ｎの２次元の円，３次元の球には格子点が存在するとは限らないのです．

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【２】２平方和定理と３平方和定理

　どの場合に２つで済むのか，３つで済むのか？という問題は，ラグランジュの定理に先行するフェルマー・オイラーの定理，オイラー・ルジャンドルの定理で解決されています．

［１］フェルマー・オイラーの定理（２平方和定理）

　特別な素数である２を除外して，素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます．

　このうち，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2，１７＝１^2＋４^2，２９＝２^2＋５^2

　幾何学的な解釈を与えると半径√ｐの円上には８個の格子点が存在するのです．しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．この定理はフェルマーの定理と呼ばれ，フェルマーは無限降下法でこれを証明しましたが，その証明は不十分で，１００年後のオイラーによって完全な証明がなされています．

　それでは，どのような自然数ｍが２つの平方数の和の形に書くことができるのでしょうか？　２つの平方数の和になる数ｍ＝４ｎ＋３はありません．ｍの素因数分解におけるｐ＝４ｎ＋３の形のすべての素因数の指数が偶数であるときに限り，２つの平方数の和の形に表すことができるのです．

　すなわち，

　　ｐ＝１　　　（ｍｏｄ４）

　　ｑ＝−１　　（ｍｏｄ４）

　　ｍ＝２^aΠｐ^bΠｑ^c

において，すべてのｃが偶数のとき，ｍ＝ｘ^2＋ｙ^2に対する解は存在するのです．

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［２］ガウス・ルジャンドルの定理（３平方和定理）

　４ｎ＋３の形の素数は２個の平方数の和で表せませんが，同様にして，

　　「８ｎ＋７の形の素数は３個の平方数の和では表されない．」

　４の非負のベキをかけたときの自然数ｍ≠４^k（８ｎ＋７）はｍが高々３個の平方数で表されるための必要十分条件です．すなわち，

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2≠４^k（８ｎ＋７）

のときに限って整数解をもちます．

　このことは、平均して全整数の

　　１／８＋１／４・８＋１／１６・８＋・・・＝１／６

は三平方和で表すことができないことを意味しています．

　ガウスの定理ともルジャンドルの定理とも呼ばれますが，ルジャンドルは２次形式ａｘ^2＋ｂｙ^2＋ｃｚ^2の研究を通して，より一般的な３元２次形式論として，この結果を得ています．

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