特別な素数である２を除外して，素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます．このうち，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，

　　５＝１^2＋２^2，

　　１３＝２^2＋３^2，

　　１７＝１^2＋４^2，

　　２９＝２^2＋５^2，

　　・・・・・・・・・

　このように，４で割ると１余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2となる自然数が存在します．

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝ｘ^2＋ｙ^2

　　ｘ＝ａｃ−ｂｄ，ｙ＝ａｄ＋ｂｃ

　しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．この定理はフェルマーの定理と呼ばれ，フェルマーは無限降下法でこれを証明しましたが，その証明は不十分で，１００年後のオイラーによって完全な証明がなされています（フェルマー・オイラーの定理）．

　２平方和定理は「４で割ると１余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2となる自然数が存在する」でしたが，フェルマーはまた，

　　「ｐが８で割ると１または３余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋２ｙ^2」

　　「ｐが８で割ると１または７余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2−２ｙ^2」

　　「ｐが３で割ると１余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2」

となる自然数ｘ，ｙが存在することを発見しました．

　ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2，ｐ＝ｘ^2＋２ｙ^2，ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2，・・・などの発見は，類体論の序曲をなすものといえるのです．

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