６０＝２^2・３・５であるから，約数の数は３・２・２＝１２である．ｎ（約数の数）で表すと

　　２（２），４（３），６（４），１２（６），２４（８），

　　３６（９），４８（１０），６０（１２），１２０（１６），

　　１８０（１８），２４０（２０），３６０（２４），７２０（３０），

　　８４０（３２），１２６０（３６），１６８０（４０），

　　２５２０（４８），５０４０（６０），・・・

　１００以下の整数で約数の数が最大になるのは，６０，７２，９０の３個で，約数の数は１２である．

　　６０＝２^2×３^1×５^1

　　７２＝２^3×３^2

　　９０＝２×３^2×５^1

しかし，１２０までは約数の個数は更新されないのである．

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【１】約数の個数を更新する合成数

　高次合成数２，４，６，１２，２４，３６，４８，６０，１２０，・・・には何かパターンがあるのだろうか？　ラマヌジャンはそれを発見したのである．

　　ｎ＝２^a2×３^a3×５^a5×７^a7×・・・×ｐ^ap

高次合成数２４，６０は

　　２４＝２^3×３^1，ａ2＝３，ａ3＝１

　　６０＝２^2×３^1×５^1，ａ2＝２，ａ3＝１，ａ5＝１

のように表せる．

　また，

　　４３２４３２０＝２^5×３^3×５×７×１１×１３

　　６７４６３２８３８８８００＝２^6×３^4×５^2×７^2×１１×１３×１７×１９×２３，ａ2≧ａ3≧ａ5≧・・・≧ａp≧１

　ａ2≧ａ3≧ａ5≧・・・≧ａp≧１は最後の指数は１になることを示しているが，無数にある高次合成数のなかでただ２つの例外がある．

　　４＝２^2，３６＝２^2×３^2

しかし，２^3×３^4×・・・というものは決して存在しない．初等的ではあるが独創的な洞察である．

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