(1)オイラーの２次式：ｆ（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋４１はｘ＝０〜３９に対して素数を与えます．

　他にも素数をよく生成する式が昔から知られていて

(2)ルビーの２次式：ｆ（ｘ）＝｜３６ｘ^2−８１０ｘ＋２７５３｜　　（ｘ＝０〜４４）

(3)フロベニウスの２次式：ｆ（ｘ）＝２ｘ^2＋２ｘ＋１９

(4)４ｘ^2＋１７０ｘ＋１８４７

(5)４ｘ^2＋４ｘ＋５９

などがあげられます．

　一方，多項式ではないもの（漸化式）では・・・

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【１】藤本の定理

　『素数を表す漸化式

　　ｐn＝［｛ｌｏｇζ（ａn）＋Σ(r=1~n-1)ｌｏｇ（１−ｐr^-an）｝^-1/an］＋１

が成立する．ここで，ｐrはｒ番目の素数，ζ(s)はリーマンのゼータ関数，［・］はガウス記号，また，ａnはａn≧ｐnを満たす任意の定数で，たとえば，２^2n，２^n，ｎ（ｎ−１）／２などをとることができる．』

（ａnはｎｌｏｇ（ｎｌｏｇｎ）（ｎ≧６）より小さくできない．）

　早速簡単な検証に移るが，ｎ＝１のとき，ａ1＝２とすると

　　ζ（ａ1）＝ζ（２）＝π^2／６

　　ｐ1＝［｛ｌｏｇζ（２）｝^-1/2］＋１＝２

が容易に確かめられる．

　この定理は（すべての素数でなく）ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-1だけからｐnを定める式を与えている．証明は割愛するが，

　　１／（ｐn−１）^an≧｛ｌｏｇζ（ａn）＋Σ(r=1~n-1)ｌｏｇ（１−ｐr^-an）＞１／ｐn^an

が成立することを示せばよい．

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