直方体に内接する等面四面体の４頂点は

　　Ｐ1（−λ／２，μ／２，ν／２）

　　Ｐ2（λ／２，−μ／２，ν／２）

　　Ｐ3（λ／２，μ／２，−ν／２）

　　Ｐ3（−λ／２，−μ／２，−ν／２）

（λ／２）^2＋（μ／２）^2＋（ν／２）^2＝（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）／８＝Ｒ^2＝１

　それらの接平面は

　　−λ・ｘ＋μ・ｙ＋ν・ｚ＝２

　　　λ・ｘ−μ・ｙ＋ν・ｚ＝２

　　　λ・ｘ＋μ・ｙ−ν・ｚ＝２

　　−λ・ｘ−μ・ｙ−ν・ｚ＝２

３つずつの交点を求める．

［１］［２］［３］

　　−λ・ｘ＋μ・ｙ＋ν・ｚ＝２

　　　λ・ｘ−μ・ｙ＋ν・ｚ＝２

　　　λ・ｘ＋μ・ｙ−ν・ｚ＝２

Ｑ1（２／λ，２／μ，２／ν）

［１］［２］［４］

　　−λ・ｘ＋μ・ｙ＋ν・ｚ＝２

　　　λ・ｘ−μ・ｙ＋ν・ｚ＝２

　　−λ・ｘ−μ・ｙ−ν・ｚ＝２

Ｑ2（−２／λ，−２／μ，２／ν）

［１］［３］［４］

　　−λ・ｘ＋μ・ｙ＋ν・ｚ＝２

　　　λ・ｘ＋μ・ｙ−ν・ｚ＝２

　　−λ・ｘ−μ・ｙ−ν・ｚ＝２

Ｑ3（−２／λ，２／μ，−２／ν）

［２］［３］［４］

　　　λ・ｘ−μ・ｙ＋ν・ｚ＝２

　　　λ・ｘ＋μ・ｙ−ν・ｚ＝２

　　−λ・ｘ−μ・ｙ−ν・ｚ＝２

Ｑ4（２／λ，−２／μ，−２／ν）

Ｑ1Ｑ2^2＝１６／λ^2＋１６／μ^2

Ｑ1Ｑ3^2＝１６／ν^2＋１６／λ^2

Ｑ1Ｑ4^2＝１６／μ^2＋１６／ν^2

　　１／λ^2＝２／（ａ^2−ｂ^2＋ｃ^2）＝１／（４−ｂ^2）

　　１／μ^2＝２／（ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2＝１／（４−ｃ^2）

　　１／ν^2＝２／（−ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）＝１／（４−ａ^2）

　　１／λ^2＋１／μ^2＋１／ν^2＝１／（４−ａ^2）＋１／（４−ｂ^2）＋１／（４−ｃ^2）＝１／κ^2

Ｑ1Ｑ2^2＝１６／λ^2＋１６／μ^2＝１６／ｋ^2−１６／ν^2

Ｑ1Ｑ3^2＝１６／ν^2＋１６／λ^2＝１６／ｋ^2−１６／μ^2

Ｑ1Ｑ4^2＝１６／μ^2＋１６／ν^2＝１６／ｋ^2−１６／λ^2

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　ここで，和が８になるように正規化すると

　　３２／κ^2＝８，ｋ^2＝４

　　１／λ^2→ｋ^2／λ^2，１／μ^2→ｋ^2／μ^2，１／ν^2→ｋ^2／ν^2

　よって，

　　ａ~^2＝４−１６λ^2／（４−ｃ^2）

　　ｂ~^2＝４−１６λ^2／（４−ｂ^2）

　　ｃ~^2＝４−１６λ^2／（４−ａ^2）

　　１／λ^2＝４／（４−ａ^2）＋４／（４−ｂ^2）＋４／（４−ｃ^2）

が得られた．

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