球面三角法の別の公式を使ってみたい．

　　ｃｏｓＣ＝−ｃｏｓＡｃｏｓＢ＋ｓｉｎＡｓｉｎＢｃｏｓｃ

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　　ｃｏｓｃ＝（ｃｏｓＡｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ）／ｓｉｎＡｓｉｎＢ

　ここで，弧長を弦長に変換しておく．

　　ｃ→２ａｒｃｓｉｎ（ｃ／２）

と置けばよい．

　　ｃｏｓ｛２ａｒｃｓｉｎ（ｃ／２）｝＝１−２（ｃ／２）^2＝１−ｃ^2／２

　　１−ｃ^2／２＝（ｃｏｓＡｃｏｓＢｓｉｎＣ＋ｃｏｓＣｓｉｎＣ）／ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎＣ

　　３−（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）／２＝｛（ｃｏｓＡｃｏｓＢｓｉｎＣ＋ｃｏｓＣｓｉｎＣ）＋（ｃｏｓＡｃｏｓＣｓｉｎＢ＋ｃｏｓＢｓｉｎＢ）＋（ｃｏｓＣｃｏｓＢｓｉｎＡ＋ｃｏｓＡｓｉｎＡ）｝／ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎＣ

　右辺＝−１であることが証明できればよい．

　ところで，Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝２πより

　　ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）

＝ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）ｃｏｓＣ−ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）ｓｉｎＣ

＝（ｃｏｓＡｃｏｓＢ−ｓｉｎＡｓｉｎＢ）ｃｏｓＣ−（ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｃｏｓＡｓｉｎＢ）ｃｏｓＣ＝１

　　ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）

＝ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）ｃｏｓＣ＋ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）ｓｉｎＣ

＝（ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｃｏｓＡｓｉｎＢ）ｃｏｓＣ＋（ｃｏｓＡｃｏｓＢ−ｓｉｎＡｓｉｎＢ）ｓｉｎＣ＝０

　後者より

　ｃｏｓＡｃｏｓＢｓｉｎＣ＋ｃｏｓＡｃｏｓＣｓｉｎＢ＋ｃｏｓＣｃｏｓＢｓｉｎＡ＝ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎＣ

　ｓｉｎＣｃｏｓＣ＋ｓｉｎＢｃｏｓＢ＋ｓｉｎＡｃｏｓＡ

＝１／２｛ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ｝

　ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ＝２ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）ｃｏｓ（Ａ−Ｂ）

　ｓｉｎ２Ｃ＝−ｓｉｎ２（Ａ＋Ｂ）＝−２ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）　ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ＝２ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）｛ｃｏｓ（Ａ−Ｂ）−ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）｝

＝４ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）・ｓｉｎＡｓｉｎＢ＝−４ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎＣ

　ｓｉｎＣｃｏｓＣ＋ｓｉｎＢｃｏｓＢ＋ｓｉｎＡｃｏｓＡ＝−２ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎＣ

　以上より，右辺＝−１→ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝８であることが証明された．

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