【１】五角十二面体（第３種）

5等辺五角形からなる五角十二面体（第３種）が２０１１年、１５歳の子のよって発見された。それは２枚の５角形10枚の凹五角形面をもつ反角柱に似た十二面体である。それは反角柱の三角形側面を凹五角形側面にしたものであるが、ドデカへドラムとなづけられた。簡単な図形であるが、誰にも発見されなっかったという意外性がある。

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【２】ドデカへドラムの計量

上面の正五角形の頂点を

(1,0,h)

(cos72, sin72,h)

(cos144, sin144,h)

(cos-144, sin-144,h)

(cos-72, sin-72,h)とおく。1辺の長さは2sin36

下面の正五角形の頂点を

(-1,0,0)

(cos108, sin108,0)

(cos36, sin36,0)

(cos-108, sin-108,0)

(cos-36, sin-36,0)とおく。

凹五角形を頂点を

(x,0,h-z),x＜0

(xcos144,xsin144,z)とおく

これらの距離は2sin36

(x-xcos144)^2+(xsin144)^2+(h-2z)^2=(2sin36)^2

(-1,0,0)(x,0,h-z)間の距離は2sin36

(x+1)^2+(h-z)^2=(2sin36)^2

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式が2，変数が3。一意には決まらないのであろう

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五角反角柱の高さは

(cos144, sin144,h)

(-1,0,0)間の距離が2sin36であるから

(cos144+1)^2+(sin144)^2+h^2=(2sin36)^2

より求めることができる。

ドデカへドラムの高さはこれより、あるいは五角柱の高さh=1より、高くなると思われる。

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(x-xcos144)^2+(xsin144)^2+(h-2z)^2=(2sin36)^2

(x+1)^2+(h-z)^2=(2sin36)^2=(10-2√5)/4=1.382

たとえば、x=-0.7とおくと

0.09+(h-z)^2=1.382

h-z=1.028

0.49(cos144+1)^2+0.49(sin144)^2+h^2=(2sin36)^2

0.49(2+2cos144)+h^2=(2sin36)^2

0.49(2-2cos36)+h^2=(2sin36)^2

0.49{2-(√5+1)/2}+h^2=1.382

h^2=1.382-.187=1.195

h=1.093,z=0.065

z＞0・・・やれやれ

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(x-xcos144)^2+(xsin144)^2+(h-2z)^2=(2sin36)^2

(x+1)^2+(h-z)^2=(2sin36)^2

において、h=1.061(あるいはh=1.061(2sin36))のとき、ｘを求めることはできるだろうか？

まずh=1.061のとき

(x+1)^2+(1.061-z)^2=1.382

x^2(cos144+1)^2+x^2(sin144)^2+(1.061-2z)^2=(2sin36)^2

x^2(2+2cos144)+(1.061-2z)^2=(2sin36)^2

x^2(2-2cos36)+(1.061-2z)^2=(2sin36)^2

x^2{2-(√5+1)/2}+(1.061-2z)^2=1.382

x^2{2-(√5+1)/2}+(1.061-2z)^2=1.382

0.382x^2+(1.061-2z)^2=1.382

連立2次方程式となってしまう。

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