x1^2+x2^2+・・・+xn^2=ax1x2・・・xnについては

a＞nのとき、解は存在しない

a=nのとき、すべての整数解は(1,1,・・・,1)から生成される。

1≦a≦nのとき、任意のaに対して、解の有限集合が存在してほかのすべての解を生成する

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昨年末、横浜桐蔭学園の富永正治先生より送られてきた問題を改変。

Nを自然数とするとき、自然数x,y,z,uについて２つの方程式

[1]x^2+y^2+z^2=Nxyz

[2]x^2+y^2+z^2+u^2=Nxyzu

について、次の問いに答えよ。

[Q][1]を満たす(x,y,z)のうち、x=y=zを満たすものとx=y≠zを満たすものをそれぞれ求めよ

[Q][1]を満たす(x,y,z)は無限に存在するようなNを1つ求め、そのうち、x＞100を満たすものを1組求めよ

[Q][2]を満たす(x,y,z,u)が無限に存在するようなNを1つ求め、そのときに(x,y,z,u)が無限に存在することを証明せよ

[Q][2]を満たす(x,y,z,u)は無限に存在する。そのうち、x＞100を満たすものを1組求めよ

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[Q][1]を満たす(x,y,z)のうち、x=y=zを満たすものとx=y≠zを満たすものをそれぞれ求めよ

x=y=z→3x^2=Nx^3→N=3のとき、x=1→(x,y,z)=(1,1,1)

x=y=1→2+z^2=3z→N=3のとき、z=2→(1,1,2)

[Q][1]を満たす(x,y,z)は無限に存在する。そのうち、x＞100を満たすものを1組求めよ

zに関する2次方程式z^2-3xyz+(x^2+y^2)=0

z={3xy+/-(9x^2y^2-4x^2-4y^2)}/2

(x,y,z)が解であれば、z+z'=3xyより(x,y,3xy-z)も解となる

(1,1,1)→(1,1,2)→(1,2,5)→→(2,29,5)→(2,29,169)などなど

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[Q][2]を満たす(x,y,z,u)が無限に存在するようなNを1つ求め、そのときに(x,y,z,u)が無限に存在することを証明せよ

x=y=z=uとすると、4x^2=Nx^4→(x,N)=(1,4),(2,1)

ここではN=4とし、x=y=z=u=1からスタートする。

uに関する2次方程式u^2-4xyzu+(x^2+y^2+z^2)=0

z={4xyz+/-(16x^2y^2z^2-4x^2-4y^2-4z^2)}/2

(x,y,z,u)が解であれば、u+u'=4xyzより(x,y,z,4xyz-u)も→解となる解は無限に存在する。

N=1のとき、4x^2=x^4→x^2(x^2-4)=0→(1,1,1,z)解あり

N=2のとき、2x^2=x^4→x^2(x^2-2)=0→(1,1,1,z)解なし

N=2のとき、(1,1,2,z)解は？

6+z^2=4z→z^2-4z+6=0→(1,1,2,z)解はない

N=3のとき、4x^2=3x^4→x^2(3x^2-4)=0→(1,1,1,z)解なし

N=3のとき、(1,1,2,z)解は？

6+z^2=6z→z^2-6z+6=0→(1,1,2,z)解はない

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[Q][2]を満たす(x,y,z,u)は無限に存在する。そのうち、x＞100を満たすものを1組求めよ

{u}={1,1,3,11,4,153,・・・}→(1,1,41,153)は[2]の解

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