【１】五角十二面体（第３種）

5等辺五角形からなる五角十二面体（第３種）が２０１１年、１５歳の子のよって発見された。それは２枚の５角形10枚の凹五角形面をもつ反角柱に似た十二面体である。それは反角柱の三角形側面を凹五角形側面にしたものであるが、ドデカへドラムとなづけられた。簡単な図形であるが、誰にも発見されなっかったという意外性がある。

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【２】ドデカへドラムの計量

上面の正五角形の頂点を

(1,0,h)

(cos72, sin72,h)

(cos144, sin144,h)

(cos-144, sin-144,h)

(cos-72, sin-72,h)とおく。1辺の長さは2sin36

下面の正五角形の頂点を

(-1,0,0)

(cos108, sin108,0)

(cos36, sin36,0)

(cos-108, sin-108,0)

(cos-36, sin-36,0)とおく。

凹五角形を頂点を

(x,0,h-z),x＜0

(xcos144,xsin144,z)とおく

これらの距離は2sin36

(x-xcos144)^2+(xsin144)^2+(h-2z)^2=(2sin36)^2

(-1,0,0)(x,0,h-z)間の距離は2sin36

(x+1)^2+(h-z)^2=(2sin36)^2

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式が2，変数が3。一意には決まらないのであろう

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五角反角柱の高さは

(cos144, sin144,h)

(-1,0,0)間の距離が2sin36であるから

(cos144+1)^2+(sin144)^2+h^2=(2sin36)^2

より求めることができる。

ドデカへドラムの高さはこれより、あるいは五角柱の高さh=1より、高くなると思われる。

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(x-xcos144)^2+(xsin144)^2+(h-2z)^2=(2sin36)^2

(x+1)^2+(h-z)^2=(2sin36)^2

たとえば、x=-0.9とおくと

0.01+(h-z)^2=2-√2=0.585

h-z=.758

0.81(cos144+1)^2+0.81(sin144)^2+h^2=(2sin36)^2

0.81(2+2cos144)+h^2=(2sin36)^2

0.81(2-2cos36)+h^2=(2sin36)^2

0.81{2-(√5+1)/2}+h^2=0.585

h^2=0.585-.309=0.276

h=0.525

z＜0・・・定式化が誤っているのだろうか？

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たとえば、x=-0.8とおくと

0.04+(h-z)^2=2-√2=0.585

h-z=.762

0.64(cos144+1)^2+0.81(sin144)^2+h^2=(2sin36)^2

0.64(2+2cos144)+h^2=(2sin36)^2

0.81(2-2cos36)+h^2=(2sin36)^2

0.64{2-(√5+1)/2}+h^2=0.585

h^2=0.585-.244=0.341

h=0.583

z＜0・・・定式化が誤っているのだろうか？

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たとえば、x=-0.7とおくと

0.09+(h-z)^2=2-√2=0.585

h-z=.758

0.49(cos144+1)^2+0.81(sin144)^2+h^2=(2sin36)^2

0.49(2+2cos144)+h^2=(2sin36)^2

0.49(2-2cos36)+h^2=(2sin36)^2

0.49{2-(√5+1)/2}+h^2=0.585

h^2=0.585-.187=0.398

h=0.630

z＜0・・・定式化が誤っているのだろうか？

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