2023年３月、デビット・スミスにより史上初の強非周期モノタイルが発見された。それは帽子に似ているため、hatと名付けられた。それは13個の辺を持つ多角形で、正三角形から４か所直角三角形を切り落として、２か所に貼り付けたものに見える。半世紀以上の追及を逃れてきた割には、単純な図形であろう。

そして、スミスは立て続けにもう一つのものタイルを見つけた。それはturtle(亀)と名付けられた。hatとturtleは同じタイル・ファミリーの一員であることがわかった。

オリジナルのhatは長さが２種類の辺(1:√3)からできているが、(√3:1)にすると、turtleが得られるのである。

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アインシュタイン・タイルのパラメータ変化によるメタモルフォーゼ：chevron(a=0)→hat(1:√3)→spectre(1:1)→turtle(√3:1)→comet(a=1)

において、

chevron(a=0)、spectre(1:1)、comet(a=1)は強非周期とはいえない。非周期的な並べ方もできるが、周期的にもできるのである。

hat(1:√3)とturtle(√3:1)は一部のタイルを裏返しにして敷き詰める必要があるが、spectre(1:1)の各辺をカーブさせると裏返しを使わない強非周期モノタイルとなる

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