集合A={1,3,8}は異なる２つの要素の積に1を加えると平方数になるという条件を満たす（ディオファントスの３組）。

1・3+1=4

1・8+1＝9

3・8+1=25

第４の要素として正の整数xを追加した集合B={1,3,8,x}も同じ条件を満たす（フェルマーの4組）。

このようなxはただ一つ存在することが知られている。xを求めよ

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x+1,3x+1,8x+1がすべて平方数となることが必要十分条件であるから、

x+1=u^2とおくと、3x+1=3u^2-2,8x+1=8u^2-7

x＞1よりu＞=2

u^2=4,9,16,・・・

3u^2-2、8u^2-7がともに平方数となるのはu=11→x=120

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富永先生の解説によると、

[1]3u^2-2、8u^2-7がともに平方数となるuがただひとつであることを示すのは高校数学を大きく超えるので、問題文に与えることにした。

A. Baker and H. Davenport, The equations 3x^2-2=y^2 and 8x^2-7=z^2

Quart. J. Math. Oxford Ser(2), 20,1969,129-137

[2]異なる２つの要素の積に1を加えると平方数になる集合を考えるのは、ディオファントスにとって提唱された数学の問題である。異なる２つの要素の積に1を加えると平方数になるはこのような集合の有理数の例として {1/16,33/16,17/4,105/16} を得ていた。集合の要素を正の整数に限った場合、この条件を満たす集合{a1,a2,・・・,am}をディオファントスのｍ組という。

[3]フェルマーはこのディオファントスのm組に対して{1,3,8}からスタートして４番目の要素120を得た。{1,3,8,120}はフェルマーの４組と呼ばれる。

[4]実はこの {1,3,8}はフィボナッチ数列Fn={1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,・・・}の連続する３つの偶数項であり、これらがディオファントスの3組となることはカッシーニの公式やその拡張により一般的に証明できる。すなわち、n＞=2に対して、集合{F2n-2,F2n,F2n+2}はディオファントスの3組であり、x=4Fn-1F2nF2n+1をついかすることで、ディオファントスの4組に拡張できる。各自、研究してみよ。

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1=F2,3=F4,8=F6,120=4F3F4F5を一般化すると

定理：F2n,F2n+2,F2n+4と4F2n+1F2n+2F2n+3の任意の２数の積に１を加えると平方数になる

（証明）カッシーニの公式より(F2nF2n+2)+1=(F2n+1)^2,(F2n+1F2n+3)-1=(F2n+2)^2,(F2n+2F2n+4)+1=(F2n+3)^2

1+F2n(4F2n+1F2n+2F2n+3)=1+4(F2nF2n+2)(F2n+1F2n+3)

=1+4{(F2n+1)^2-1}{(F2n+2)^2+1}

=4(F2n+1)^2(F2n+2)^2-4{(F2n+2)^2-(F2n+1)^2)-3

=4(F2n+1)^2(F2n+2)^2-4{(F2n+3)(F2n)}-3

=4(F2n+1)^2(F2n+2)^2-4(F2n+3)(F2n+2-F2n+1)-3

=4(F2n+1)^2(F2n+2)^2-4(F2n+3)(F2n+2)+4(F2n+1)(F2n+3)-3

=4(F2n+1)^2(F2n+2)^2-4(F2n+2)(F2n+3)+4{(F2n+2)^2+1}-3

=4(F2n+1)^2(F2n+2)^2-4(F2n+2){(F2n+3)-(F2n+2)^2}+1

=4(F2n+1)^2(F2n+2)^2-4(F2n+2)(F2n+1)+1

={2(F2n+1)(F2n+2)-1}^2

同様に

1+(F2n+2)(4F2n+1F2n+2F2n+3)={2(F2n+2)^2+1}^2

1+(F2n+4)(4F2n+1F2n+2F2n+3)={2(F2n+2)(F2n+3)+1}^2

n=1→(1,3,8,120)

n=2→(3,8,21,2080)

n=3→(8,21,55,37128)

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x=4F2n+1F2n+2F2n+3ではなく、

x=4F2n+2F2n+3F2n+4とおくと、

1+xF2n+1={2(F2n+2)(F2n+3)+1}^2

1+xF2n+3={2(F2n+3)-1}^2

1+xF2n+5={2(F2n+3)(F2n+4)-1}^2

n=1→(2,5,13,480)

n=2→(5,13,34,8736)

n=3→(13,34,89,157080)

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{a1,・・・,am}→aiaj+nがすべて平方数であるとき、D(n)ディオファントスm項と呼ばれる。

フェルマーはD(n)ディオファントス4項{1,3,8,120}を見出した

ベイカーとダヴェンポートは{1,3,8}がただ一通りにディオファントス4項に拡張され、ディオファントス5項には拡張されないことを証明した。

ドゥジェラとペトーは{1,3}が無限に多くの方法でディオファントス4項に拡張され、ディオファントス5項には拡張されないことを証明した。

D(1)ディオファントス5項は知られていないが、

D(256)ディオファントス5項{1,33,105,320,18240}

D(2985984)ディオファントス6項{99,315,9920,32768,44460,19534284}は既知である。

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