フィボナッチ数列と2次形式（その５７）

ここでは、数列{ak}を一般化して考えてみたい。a0=0,a1=1とする

a2=Ma1+Na0=M

a3=Ma2+Na1

a4=Ma3+Na2

a5=Ma4+Na3・・・これをa3,a1で表す。

a5=M(Ma3+Na2)+Na3=(M^2+N)a3+MN(a2)=(M^2+N)a3+N(a3)-N^2a1=(M^2+2N)a3-N^2a1

フィボナッチ数列:M=1,N=1(OK)

ペル数列:M=2,N=1(OK)

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b1=a1,b2=a3,b3=a5,b4=a7

bn=(M^2+2N)bn-1-N^2bn-2

演算規則を変えてb4+b1=X(b2+b3)と表されることにすると（2次形式からは逸脱してしまうが）

b4=Xb3＋Xb2-b1=(M^2+2N)b3-N^2b2

(M^2+2N-X)b3=(N^2+X)b2-b1

X=(M^2+2N-1)とおくと、b3=(N^2+M^2+2N-1)b2-b1

フィボナッチ数列:M=1,N=1(OK)

ペル数列:M=2,N=1(OK)

N=1のときだけ

bn=(M^2+2N)bn-1-N^2bn-2とb3=(N^2+M^2+2N-1)b2-b1が等しくなる

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N^2=1

M^2+2N=N^2+M^2+2N-1

N=-1でもよいことになる。

un+1=Mun-un-1

M=1の場合、

u0=1とするとu2が正となるためにはu2=2であることが必要。

u3＝2-1=1

u4=1-2=-1・・・NG

u2=3のばあい、

u3=3-1=2

u4=2-3・・・NG

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M=2の場合、u0=1とするとu2が正となるためにはu2=2であることが必要。

u3=4-1=3

u4=6-2＝4

u2=3のばあい、

u3=6-1=5

u4=10-3＝7

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