[a0;a1,a2,a3,・・・]

[a0;a1,a2,a3,・・・]+n=[a0+n;a1,a2,a3,・・・]

1/[a0;a1,a2,a3,・・・]=[0;a0,a1,a2,a3,・・・]

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-[a0;a1,a2,a3,・・・]=[-1-a0;1,a1-1,a2,a3,・・・],a1＞1のとき

-[a0;a1,a2,a3,・・・]=[-1-a0;a2+1,a3,・・・],a1＝1のとき

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[a0;a1,a2,a3,・・・]/n=[a0/n;na1,a2/n,na3,・・・]、a0,a2,a4,a6,・・・がｎで割り切れるとき

n[a0;a1,a2,a3,・・・]=[na0;a1/n,na2,a3/n,・・・]、a1,a3,a5,a7,・・・がｎで割り切れるとき

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w=[0;a1,a2,a3,・・・],a0=0

1-w=[0;1,a1-1,a2,a3,・・・]a1＞1のとき

1-w=[0;1,0,a2,a3,・・・]=[0;1+a2,a3,・・・]a1=1のとき

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これを証明してみよう。

x=[a2;a3,a4,・・・],y=1/x=[0;a2,a3,a4,・・・]

w=1/(a1+1/x)=1/(a1+y)

z=1/(1+1/(a1-1+y))

z=(a1-1+y)/(a1+y)=1-1/(a1+y)

w+z=1

z=1-w

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1+x=x=[1+a2;a3,a4,・・・],1/(1+x)=[0;1+a2,a3,a4,・・・]

a1=1のとき、

w=1/(1+1/x)=x/(x+1)

w+1/(1+x)=1

1/(1+x)=1-w

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周期性・２倍性・回文性より

　√ｍ＝［ｑ0；ｑ1，ｑ2，・・，ｑ2，ｑ1，２ｑ0，・・・］

2qo＞q1,2qo＞q2,・・・

q1=qn-1,q2=qn-2,・・・のとき、ラグランジュ数は

λ=［2ｑ0；ｑ1，ｑ2，・・・，ｑn-1，・・・］+［0；ｑ1，ｑ2，・・・，ｑn-1，・・・］

＝√ｍ+ｑ0+√ｍ-ｑ0＝2　√ｍ

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周期性・２倍性・回文性より

　(a+√ｍ)/2＝［ｑ0；ｑ1，ｑ2，・・，ｑ2，ｑ1，２ｑ0，・・・］

2qo＞q1,2qo＞q2,・・・

q1=qn-1,q2=qn-2,・・・のとき、ラグランジュ数は

λ=［2ｑ0；ｑ1，ｑ2，・・・，ｑn-1，・・・］+［0；ｑ1，ｑ2，・・・，ｑn-1，・・・］

＝(a+√ｍ)/2+ｑ0+(a+√ｍ)/2-ｑ0＝2(a+√ｍ)/2

おかしい。φのとき√5にならない

黄金比・白銀比・青銅比などのときは

　(a+√ｍ)/2＝［ｑ0；ｑ1，ｑ2，・・，ｑ2，ｑ1，２ｑ0，・・・］

にならないせいであろう

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α=[n;n,n,n,・・・]={n+(n^2+4)^1/2}/2のときは

λ= [n;n,n,n,・・・]+[0;n,n,n,・・・]＝α+1/α=2(n^2+4)^1/2

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x^2-nx-d=0の場合

α={n+(n^2+4d)^1/2}/2

α+1/α={n+(n^2+4d)^1/2}/2+2/{n+(n^2+4d)^1/2}

= {n+(n^2+4d)^1/2}/2+{(n^2+4d)^1/2-n}/2d

したがって、d=1の場合には限られる

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