[4;4,4,4,・・・]+[0;4,4,4,4,・・・]

=2+√5+1/(2+√5)=2+√5+√5-2=2√5=√20=4.47

[3;1,3,1,・・・]+[0;1,3,1,3,・・・]＝4.58

=√21＝4.58

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[4;4,4,4,・・・]+[0;3,1,3,1,・・・]＝4.4982

[4;3,1,3,1,・・・]+[0;4,3,1,4,3,1,・・・]＝4.4998

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

部分商が≦ｎである最大の数は

α=[n;1,n,1,n,1,n,・・・]={n+(n^2+4n)^1/2}/2

λ＝[n;1,n,1,n,1,n,・・・]＋[0;1,n,1,n,1,n,・・・]=(n^2+4n)^1/2

部分商が≦ｎである最小の数の数は

α=[0;n,n,n,n,n,n,・・・]={n+(n^2+4)^1/2}/2

λ＝[n;n,n,n,n,n,n,・・・]＋[0;n,n,n,n,n,n,・・・]=(n^2+4)^1/2

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[0;4,4,4,・・・]=√5-2

[0;1,4,1,・・・]=(4+√32)/2-4=2√2-2

[√2-1,4√2-4]は[0;b1,b2,b3,b4,・・・]+[0;c1,c2,c3,c4,・・・]と書ける。

実数はa+[0;b1,b2,b3,b4,・・・]+[0;c1,c2,c3,c4,・・・]と書ける,bi,ciはbelow4なので、λ=(6,∞)

[0;b1,b2,b3,b4,・・・]+[0;c1,c2,c3,c4,・・・]の最大値は4√2-4

[0;b1,b2,b3,b4,・・・]+[0;c1,c2,c3,c4,・・・]の最小値は2√5-4

√2-1=[0;2,2,2,2,・・・]が出てこない。

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[0;3,3,3,・・・]=(3+√13)/2-3

[0;1,3,1,3,・・・]=(3+√21)/2-3

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αとλがごちゃ混ぜになってしまったが、もう一度整理すると

[n;n,n,n・・・]のλは(n^2+4)^1/2

√5→√8→√13→√20→√29

[n;1,n,1,n・・・]のλは(n^2+4n)^1/28

√5→√12→√21→√32→√45

λ=[n;n,n,n,・・・]+[0;n-1,1,n-1,1,・・・]、ｎ≧2は

[0;n-1,1,n-1,1,・・・]=1/[n-1:1,n-1,1・・・]=1/({n-1+((n-1)^2+4(n-1))^1/2}/2

=2({n-1-((n-1)^2+4(n-1))^1/2}/((n-1)^2-(n-1)^2-4(n-1))

=-({n-1-((n-1)(n+3))^1/2}/2(n-1)より

{n+(n^2+4)^1/2}/2-({n-1-((n-1)(n+3))^1/2}/2(n-1)

(2+√8)/2-(1-√5)/2=1+√2+φ-1

(3+√13)/2-(2-√12)/4

λ=[n;n-1,1,n-1,1，・・・]+[0;n,n-1,1,n-1,1，・・・]、ｎ≧2は

[0;n-1,1,n-1,1,・・・]=-({n-1-((n-1)(n+3))^1/2}/2(n-1)

[n;n-1,1,n-1,1,・・・]=n-({n-1-((n-1)(n+3))^1/2}/2(n-1)

[0;n,n-1,1,n-1,1，・・・]=1/[n;n-1,1,n-1,1,・・・]

2+(√5-1)/2+(3-√5)/2=3

3+(√12-2)/4+(10-√12)/22=3+(√3-1)/2+(10-√12)/22

=3+(11√3-11)/22+(10-2√3)/22＝3+(9√3-1)/22

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√12＜√13＜3+(9√3-1)/22

√20＜4+(16√21-21)/105＜√21

√29＜5+(75√2-43)/158＜√32

√40＜6+(216√5-235)/735＜√45

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