学会にて（京大数理解析研，その４２）において、

x^2+y^2+z^2=wxyzが{un}解を持つのはw=1または3に限られることを示した。

x2+y2+z2=wxyz

(M2+2)/ML=w, L= (M2+2)/wM

w=1

M=1, L=3, N=3

M=2, L=3, N=6

w=2 → {un}解なし

w=3

M=1, L=1, N=1 (Fibonacci)

M=2, L=1, N=2 (Pell)

w>3 → {un}解なし

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コーン行列とは、マルコフ数mに対して

[a,b]

[c,d]

b=m,a+d=3m,ad-bc=1なる行列である。

ad-mc=1であるから、

c={ad-1}/m

m=b=1のとき、a+d=3,d=3-a,c=3a-a^2-1

m=b=2のとき、a+d=6,d=6-a,c=(6a-a^2-1)/2

m=b=5のとき、a+d=15,d=15-a,c=(15a-a^2-1)/5

分数を避けるために

m=b=1のとき、a→a, d=3-a,c=3a-a^2-1

m=b=2のとき、a→2a+1,d=5-2a,c=-2a^2+4a+2

m=b=5のとき、a→5a+2,d=13-5a,c=-5a^2+11a+5

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a=1とおけば

[1,1] [3,2] [ 7,5]

[1,2],[4,3],[11,8]

[7,5] [1,1][3,2]

[11,8]=[1,2][4,3]

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