(a^2+b)^1/2の連分数は古代の人によって平方根を近似するために用いられた。

標準連分数にするためにはb=1であることが要求されるが、

　(a^2+1)^1/2=[a:2a,2a,2a,・・・]

　(2)^1/2=[1:2,2,2,・・・]

　(5)^1/2=[2:4,4,4,・・・]

　(10)^1/2=[3:6,6,6,・・・]

　(17)^1/2=[4:8,8,8,・・・]

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連分数展開によって

　　（１＋√５）／２＝［１；１，１，１，１，１，・・・］

　　√２＝［１；２，２，２，２，２，・・・］

のように，１や２が無限に繰り返されるという規則性を見ることができます．

　　√３＝［１；１，２，１，２，１，２，・・・］

では交互に１，２が現れる循環連分数となります．以下，

　　√５＝［２；４，４，４，・・・］

　　√６＝［２；２，４，２，４，２，・・・］

　　√７＝［２；１，１，１，４，１，１，１，４，・・・］

一般に，√ｍの連分数展開は循環連分数となり周期性が証明されます．これは既約分数の小数展開が循環小数になることと対比するとおもしろい事実です．

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これらのλを求めてみます。

　　（１＋√５）／２＝［１；１，１，１，１，１，・・・］、λ=√5

　　√２＝［１；２，２，２，２，２，・・・］、λ=√8

　　√３＝［１；１，２，１，２，１，２，・・・］、λ=√12

x=[4:4,4,4,・・・],y=[0:4,4,4]

x=4+1/x

x^2-4x-1=0,x=2+√5

y=1/x=-2+√5

　　√５＝［２；４，４，４，・・・］、λ=2√5

x=[4:2,4,2,・・・],y=[0:2,4,2,4・・・]

x=4+1/(2+1/x)

x=4+x/(2x+1)=(9x+4)/(2x+1)

2x^2-8x-4=0

x^2-4x-2=0,x=2+√6

y=1/x=-2+√6

　　√６＝［２；２，４，２，４，２，・・・］、λ=2√6

x=[4:1,1,1,4,・・・],y=[0:1,1,1,4,・・・]

x=4+1/(1+1/(1+1/(1+1/x))

x=4+1/(1+1/(1+x/(x+1))

x=4+1/(1+(x+1)/(2x+1))

x=4+(2x+1)/(3x+2))

x(3x+2)=4(3x+2)+(2x+1)=14x+9

3x^2-12x-9=0

x^2-4x-3=0,x=2+√7

y=1/x=-2+√7

　　√７＝［２；１，１，１，４，１，１，１，４，・・・］、λ=2√7

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　　√８＝［２；１，４，１，４，・・・］

x=[4:1,4,1,・・・],y=[0:1,4,1,4,・・・]

x=4+1/(1+1/x)

x=4+x/(x+1)

x(x+1)=4(x+1)+x=5x+4

x^2-4x-4=0,x=2+√8

y=1/x=-2+√8

　　√８＝［２；１，４，１，４，・・・］、λ=2√8

　(10)^1/2=[3:6,6,6,・・・]

x=[6:6,6,6,・・・],y=[0:6,6,6,・・・]

x=6+1/x

x^2-6x-1=0,x=3+√10

y=1/x

　(10)^1/2=[3:6,6,6,・・・]、λ=2√10

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