連分数展開によって

　　（１＋√５）／２＝［１；１，１，１，１，１，・・・］

　　√２＝［１；２，２，２，２，２，・・・］

のように，１や２が無限に繰り返されるという規則性を見ることができます．

　　√３＝［１；１，２，１，２，１，２，・・・］

では交互に１，２が現れる循環連分数となります．以下，

　　√５＝［２；４，４，４，・・・］

　　√６＝［２；２，４，２，４，２，・・・］

　　√７＝［２；１，１，１，４，１，１，１，４，・・・］

一般に，√ｍの連分数展開は循環連分数となり周期性が証明されます．これは既約分数の小数展開が循環小数になることと対比するとおもしろい事実です．

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√２の連分数を途中でストップさせると

1,3/2,7/5,17/12,41/29,,,

これらは

√2のディオファントス近似では分数関数

f(p/q)=(p+2q)/(p+q) (Diophantine approximation)として

p1=1,q1=1から始めると　

pn+1=pn+2qn, qn+1=pn+qn

1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,99/70,239/169,,, → √2に収束します。このとき、 √2の上下から √2を交互にはさむようにして収束することがわかります。

1/1<7/5<41/29<239/169<<√2<<99/70<17/12<3/2

と同じ分数列です。

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つぎに、√３の連分数を途中でストップさせると

1,2,5/3,7/4,19/11,,,

となって、√3の上下から √3を交互にはさむようにして収束することがわかります。

それに対して、√3のディオファントス近似では分数関数

f(p/q)=(2p+3q)/(p+2q), p=2,q=1 → √3とすると

2/1,7/4,26/15,97/56,,,となって上からの収束、

f(p/q)=(2p+3q)/(p+2q), p=1,q=1 → √3とすると

1/1,5/3,19/11,71/42,,,となって下からの収束となっていることがわかります。

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連分数による実数の近似は，解を下方と上方から近似していく方法であって，ユークリッドの互除法に直結しています．

すなわち，標準連分数はすべて収束し，その際，近似分数列｛ｗn｝は振動しつつ，交互に上下から収束する形になります．

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