われわれは，連分数展開によって

（１＋√５）／２＝［１；１，１，１，１，１，・・・］

√２＝［１；２，２，２，２，２，・・・］

のように，１や２が無限に繰り返されるという規則性を見ることができますし，

√３＝［１；１，２，１，２，１，２，・・・］

では交互に１，２が現れる循環連分数となります．

√５＝［２；４，４，４，・・・］

√６＝［２；２，４，２，４，２，・・・］

√７＝［２；１，１，１，４，１，１，１，４，・・・］

連分数による実数の近似は，解を下方と上方から近似していく方法であって，ユークリッドの互除法に直結しています．一般に，√ｄの連分数展開は循環連分数となり周期性が証明されます．これは既約分数の小数展開が循環小数になることと対比するとおもしろい事実です．

　また，超越数ｅの連分数展開は，

ｅ＝［２；１，２，１，１，４，１，１，６，１，１，８，１，１，１０，１，１，１２，１，１，１４，１，１，１６，・・・］

と書け，数字の出方が自然数順になっていることがわかります．しかし，πの連分数展開

π＝［３；７，１５，１，２９２，１，１，１，２，１，３，１，１４，２，１，１，２，２，２，２，１，８４，２，１，１，１５，３，１３，１，４，２，６，６，９９，１，２，２，６，３，５，１，１，６，・・・］

にはなんの規則性も見あたらないようにみえます．πに現れる数字０〜９については，重複対数の法則と呼ばれるランダムウォークに基づく非常に厳しいランダムネス検定にも十分合格することが確かめられています．πには少なくとも何進法かの表現の下でなにか隠された未発見の規則性があるに違いないと信じている人もいますが，現在のところ，πは最も複雑な数なのです．

　１９９７年，近似エントロピーという統計的手法を使った乱数度評価では，乱数度の高い順に並べると

　　π＞√２＞ｅ＞√３

の順で，超越数が代数的数より乱数度が高いとは限らないという結果もでているそうです．

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　なお，

　　√（πｅ／２）＝１＋１／１・３＋１／１・３・５＋１／１・３・５・７＋１／１・３・５・９＋・・・

また，標準連分数展開（分子が１）でなく，分母が１になるような連分数展開をすると

　　√（πｅ／２）＝［１：１，２，３，４，・・・］

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