ａ1＝１，ｂ1＝１

　　ａn+1＝２ａn＋３ｂn

　　ｂn+1＝ａn＋２ｂn

を繰り返す．

［Ｑ］このとき，ａn／ｂn→？

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［Ａ］

　ａ1＝１，ｂ1＝１，ａ1／ｂ1＝１

　ａ2＝５，ｂ2＝３，ａ2／ｂ2＝１．６６６６６６６

　ａ3＝１９，ｂ3＝１１，ａ3／ｂ3＝１．７２７２７２９

　ａ4＝７１，ｂ4＝４１，ａ4／ｂ4＝１．７３１７０７３

　ａ5＝２６５，ｂ5＝１５３，ａ5／ｂ5＝１．７３２０２６１

　ａ6＝９８９，ｂ6＝５７１，ａ6／ｂ6＝１．７３２０４９

　ａn／ｂn→√３

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√2のディオファントス近似では分数関数

f(p/q)=(p+2q)/(p+q) (Diophantine approximation)として

p1=1,q1=1から始めると　

pn+1=pn+2qn, qn+1=pn+qn

1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,99/70,239/169,,, → √2に収束します。このとき、 √2の上下から √2を交互にはさむようにして収束することがわかります。

1/1<7/5<41/29<239/169<<√2<<99/70<17/12<3/2

一方、√3のディオファントス近似では分数関数

f(p/q)=(2p+3q)/(p+2q), p=2,q=1 → √3とすると

2/1,7/4,26/15,97/56,,,となって上からの収束、

f(p/q)=(2p+3q)/(p+2q), p=1,q=1 → √3とすると

1/1,5/3,19/11,71/42,,,となって下からの収束となっていることがわかります。

これらの一次分数近似は、ペル方程式に依拠していて

√2ではp^2-2q^2=(-1)^n・・・符号が交代する

√3ではp^2-3q^2=1・・・符号は不変

という違いがあります

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