フィボナッチ数列

f(x)=(x)/(1-x-x^2)=(1/√5)/(1-αx)-(1/√5)/(1-βx)

α=(1+√5)/2、β=(1-√5)/2,αβ=-1,α^2+β^2=3、β=-1/α

an=1/√5・{α^n-β^n}

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フィボナッチ数列を３で割った余りなら，

　　１，１，２，０，２，２，１，０，１，１，２，・・・

のように８項毎に元に戻る．

ｎが４の倍数のとき、3の倍数が現れる

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α^n=(pn+qn√5)/2^n

β^n=(pn-qn√5)/2^nとおくと

an=1/√5・{α^n-β^n}=qn/2^n

qn=(n,1)+(n,3)5+(n,5)5^2+(n,5)5^3+・・・

mod3で考えると

qn=(n,1)-(n,3)+(n,5)-(n,5)+・・・=0　(mod 3)・・・誤り

an=1/√5・{α^n-β^n}=qn/2^n=0　(mod 3)

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(1+i)^n=(n,0)-(n-2)+(n+4)-(n,6)+・・・+i{(n,1)-(n,3)+(n,5)-(n,7)+・・・}

(n,1)-(n,3)+(n,5)-(n,7)+・・・は1,2,2,0,-4,-8,-8,016,32,32,0,・・・

n mod4で考えると

qn=(n,1)-(n,3)+(n,5)-(n,5)+・・・=0　(mod 4)

an=1/√5・{α^n-β^n}=qn/2^n=0　(mod 4)

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