【３】メーソン・ストーサーズの定理の類似（ａｂｃ予想）

　多項式に対するフェルマの最終定理の類似はわかったが，それでは整数に関するメーソン・ストーサーズの定理の類似はどうなるのだろう？　この代数幾何学と数論の相互転化がどのような形になるのかを知る人はたとえいたとしても非常に少ないであろう．

　ｍの素因数分解を

　　ｍ＝Πｐi^mi

とすると，多項式の次数ｄｅｇに相当するものは

　　ｌｏｇｍ＝Σｍiｌｏｇｐi

互いに異なる根の数に相当するものは

　　Ｒ＝Σｌｏｇｐi

と定義するのだが，互いに素な整数でａ＋ｂ＝ｃを満たすものすべてについて，不等式

　　ｍａｘ（｜ａ｜，｜ｂ｜，｜ｃ｜）≦Ｒ（ａｂｃ）

は一般に成り立たない．

　また，

　　ｍａｘ（｜ａ｜，｜ｂ｜，｜ｃ｜）≦Ｋ・Ｒ（ａｂｃ）

が成り立つような定数Ｋも存在しないのだが，不等式を弱いものにした

　　ｍａｘ（｜ａ｜，｜ｂ｜，｜ｃ｜）≦Ｋ・Ｒ（ａｂｃ）^(1+ε)

が成り立つと予想されている（ａｂｃ予想，１９８６年）．

　ほとんど証明抜きでスケッチ程度に解説したが，ａｂｃ予想は数論と方程式論の両方にまたがる２０世紀における最高の予想のひとつとされる．

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