u1=2,un+1=un^2-un+1で定義される数列を考える。

u1=2,u2=3,u3=7,u4=43,u5=1807,・・・

エジプト分数表示

1/2+1/3+1/7+1/43+1/1807+・・・＝1

をもつ

uk=1+u0u1・・・uk-1

uk=uk-1(uk-1-1)+1

uk-1=1+u0u1・・・uk-2

uk-1-1=u0u1・・・uk-2

uk-1(uk-1-1)+1=u0u1・・・uk-1+1=uk

uk-1=uk-1(uk-1-1)

1/(uk-1)=1/(uk-1-1)-1/uk-1

Σ1/(uk-1)=Σ{1/(uk-1-1)-1/uk-1} (k=2-5)

1/2+1/6+1/42+1/1806=(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/6-1/7)+(1/42-1/43)

1/1806=(1/1-1/2)+(-1/3)+(-1/7)+(-1/43)

1=1/2+1/3+1/7+1/43+1/1806

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Σ1/n!{1/(n+1)-1/(n+2)}=Σ1/(n+2)!を考える

Σ1/n!{1/(n+1)}=Σ1/(n+1)!

Σ1/n!(n+2)=Σ1/(n+1)!-Σ1/(n+2)!={1/2!+1/3!+1/4!+・・・}-{1/3!+1/4!+1/5!+・・・}

=1/2

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