つぎに、幾何級数の無限個の項の和を考えてみましょう。

Ｓ＝１／１＋１／２＋１／４＋１／８＋・・・

この式の両辺を２倍すると

２Ｓ＝２＋１／１＋１／２＋１／４＋１／８＋・・・

＝２＋Ｓ

したがって、Ｓ＝２と計算することは自然に思えます。実際、幾何級数は２に収束します。ところが、次の無限個の項の和を考えてみます。

Ｔ＝１＋２＋４＋８＋１６＋３２＋・・・

ここでも、両辺を２倍すると

２Ｔ＝２＋４＋８＋１６＋３２＋６４＋・・・

　　＝Ｔ−１

したがって、Ｔ＝−１となり、正の無限級数の総和が負になって、一見して目がくらんでしまいます。パラドックスを引き起こした謎は、無限大∞は２Ｔ＝Ｔ−１の解にも、あるいは２Ｓ＝Ｓ＋２の解にもなりうるという点に隠されています。これらは、有限の場合に成り立つ考えを無頓着に無限に適用するとばかげたまちがいを起こすことがあることという教訓でもあります。

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