無限級数：Σ（−１）^k ＝１−１＋１−１＋１−１＋・・・

は奇数番目まで足して１、偶数番目まで足して０になります。０と１の中間で１／２というわけではありませんが、

ｆ（ｘ）＝１＋ｘ＋ｘ^2 ＋ｘ^3 ＋・・・＝１／（１−ｘ）

でｘを−１に近づけたときの極限値と考えると１／２になってしまい、整数の和が分数という不思議な結果になります。

１−１＋１−１＋１−１＋・・・＝１／２

もちろん、この結論は誤りで、この展開が正しいのは｜ｘ｜＜１に限られ、ｘが１に等しいか、１より大きい正の数の場合には意味をもちません。ｘ＝−１のときこの級数は０と１の間をただ振動するだけですが、オイラーやライプニッツの時代にはかくもあやしげな公式が信じられていたようです。

　さらに、ｇ（ｘ）＝ｘｄｆ（ｘ）／ｄｘ，ｈ（ｘ）＝ｘｄｇ（ｘ）／ｄｘを求めると、

ｇ（ｘ）＝ｘ＋２ｘ^2 ＋３ｘ^3 ＋・・・＝ｘ／（１−ｘ）^2

ｈ（ｘ）＝ｘ＋２^2 ｘ^2 ＋３^2 ｘ^3 ＋・・・＝ｘ（１＋ｘ）／（１−ｘ）^2

ここで、ｘ＝−１とおくと

Ｐ＝１−２＋３−４＋・・・＝１／４

１^2 −２^2 ＋３^2 −４^2 ＋・・・＝０

が得られます。また、Ｓ＝１＋２＋３＋４＋・・・とおくと

Ｐ＝（１＋２＋３＋４＋・・・）−２（２＋４＋６＋８＋・・・）

　＝（１＋２＋３＋４＋・・・）−４（１＋２＋３＋４＋・・・）

　＝Ｓ−４Ｓ＝−３Ｓ

したがって、

ζ（−１）＝１＋２＋３＋４＋・・・＝−１／１２

という結果が得られます。

１＋ｘ＋ｘ^2 ＋ｘ^3 ＋・・・＝１／（１−ｘ）と同様にして、

１／（ｘ−１）＝１／ｘ＋１／ｘ^2 ＋１／ｘ^3 ＋・・・

ここで、ｘ＝１／２とすれば、−２＝２＋２^2 ＋２^3 ＋・・・

負数が正の無限大に等しくなるというのはまったくの不合理ですが、古き良き時代のことであり、案外、自然に受け入れられたのかもしれません。

　このように、発散級数では非常に多くの逆説を作りだすことができます。これらの級数がどんな場合に等号が成り立つか、ｘにどんな制限をつければ有限な極限に収束するかを知るためには、数学を論理的に完全にすることがどうしても必要になりました。無限級数の極限値を求める数学は、その後、ガウスやコーシーによって精密科学への変革が成し遂げられました。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝